لدينا سقف نصف الاسطوانة من دائرة نصف قطرها ص و ارتفاع ص شنت على رأس أربعة جدران مستطيلة من الارتفاع ح. لدينا 200π م ^ 2 من ورقة بلاستيكية لاستخدامها في بناء هذا الهيكل. ما هي قيمة r التي تسمح بالحجم الأقصى؟

إجابة:

# ص = 20 / الجذر التربيعي (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

تفسير:

اسمحوا لي أن أكرر السؤال كما أفهمها.

شريطة أن مساحة السطح لهذا الكائن هو # # 200pi، تعظيم حجم.

خطة

معرفة مساحة السطح ، يمكننا تمثيل الارتفاع # ح # كدالة نصف قطرها # ص #، عندها يمكننا تمثيل وحدة التخزين كدالة لمعلمة واحدة فقط - نصف القطر # ص #.

هذه الوظيفة تحتاج إلى تعظيم باستخدام # ص # كمعلمة. أن يعطي قيمة # ص #.

مساحة السطح تحتوي على:

4 الجدران التي تشكل سطح جانبي متوازي مع محيط قاعدة # # 6R والطول # ح #التي لها مساحة كلية # # 6rh.

1 سقف ، نصف سطح الجانب من اسطوانة من دائرة نصف قطرها # ص # و هايت # ص #، التي لديها مساحة #pi r ^ 2 #

2 الجانبين من السقف ، نصف دائرة من دائرة نصف قطرها # ص #، المساحة الكلية منها #pi r ^ 2 #.

المساحة الكلية الناتجة لكائن ما

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

معرفة هذا ليكون مساويا ل # # 200pi، يمكننا التعبير # ح # من ناحية # ص #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

يتكون حجم هذا الكائن من جزأين: أسفل السقف وداخل السقف.

أسفل السطح لدينا خط موازي بمساحة القاعدة # 2R ^ 2 # والطول # ح #، هذا هو حجمها

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

داخل السقف لدينا نصف اسطوانة نصف قطرها # ص # والطول # ص #، حجمها هو

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

لدينا لتعظيم وظيفة

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

يشبه هذا (وليس لتوسيع نطاق)

الرسم البياني {2x-0.6x ^ 3 -5.12 ، 5.114 ، -2.56 ، 2.56}

تصل هذه الوظيفة إلى الحد الأقصى عندما تكون مشتقة تساوي الصفر للوسيطة الإيجابية.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

في مجال # R> 0 # انها تساوي الصفر عندما # ص = 20 / الجذر التربيعي (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

هذا هو نصف القطر الذي يعطي أكبر حجم ، بالنظر إلى مساحة السطح وشكل الجسم.