النظر في 3 دوائر متساوية من دائرة نصف قطرها ص داخل دائرة معينة من دائرة نصف قطرها R لمس كل منهما الآخر ودائرة معينة كما هو مبين في الشكل ، ثم مساحة المنطقة المظللة تساوي؟

يمكننا تشكيل تعبير لمنطقة المنطقة المظللة مثل:

#A_ "مظللة" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

أين #A_ "مركز" # هي مساحة القسم الصغير بين الدوائر الثلاث الأصغر.

للعثور على مساحة هذا ، يمكننا رسم مثلث من خلال ربط مراكز الدوائر البيضاء الثلاث الأصغر. لأن كل دائرة لها دائرة نصف قطرها # ص #طول كل جانب من المثلث هو # # 2R والمثلث متساوي الأضلاع حتى يكون له زوايا # 60 ^ س # كل.

يمكننا إذن القول أن زاوية المنطقة الوسطى هي مساحة هذا المثلث مطروح ا منها القطاعات الثلاثة للدائرة. ارتفاع المثلث هو ببساطة #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #، وبالتالي فإن مساحة المثلث # 1/2 * قاعدة * الارتفاع = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

تكون مساحة مقاطع الدائرة الثلاثية داخل هذا المثلث هي نفس مساحة نصف الدائرة (بسبب وجود زوايا # 60 ^ س # كل ، أو #1/6# دائرة ، حتى نتمكن من استنتاج المساحة الإجمالية لهذه القطاعات لتكون # 1/2 pir ^ 2 #.

أخير ا ، يمكننا أن ننجح في منطقة منطقة الوسط #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

إذا بالعودة إلى تعبيرنا الأصلي ، فإن مساحة المنطقة المظللة هي

# بير ^ 2-3pir ^ 2-ص ^ 2 (الجذر التربيعي (3) -pi / 2) #

إجابة:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

تفسير:

دعونا نعطي الدوائر البيضاء دائرة نصف قطرها # ص = 1 #. تشكل المراكز مثلث متساوي الأضلاع من الجانب #2#. كل متوسط / الارتفاع هو #sqrt {3} # وبالتالي فإن المسافة من قمة الرأس إلى النقطه الوسطى هي # 2/3 sqrt {3} #.

النقطة الوسطى هي مركز الدائرة الكبيرة ، لذا فهي المسافة بين مركز الدائرة الكبيرة ووسط الدائرة الصغيرة. نضيف قليلا من دائرة نصف قطرها # ص = 1 # للحصول على

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

المنطقة التي نسعى إليها هي مساحة الدائرة الكبيرة أقل مثلث متساوي الأضلاع والباقي #5/6# من كل دائرة صغيرة.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

نحن نطاق من قبل # ص ^ 2 # بشكل عام.