ما هو orthocenter من مثلث مع زوايا في (9 ، 5) ، (3 ، 8) ، و (5 ، 6)؟

إجابة:

الخطوات: (1) أوجد منحدرات الجانبين ، (2) أوجد منحدرات الخطوط العمودية لتلك الجوانب ، (3) أوجد معادلات الخطوط مع تلك المنحدرات التي تمر عبر الرؤوس المعاكسة ، (4) أوجد نقطة حيث تتقاطع هذه الخطوط ، وهو orthocenter ، في هذه الحالة #(6.67, 2.67)#.

تفسير:

للعثور على orthocenter للمثلث ، نجد منحدرات (تدرجات) لوجهين ، ثم معادلات الخطوط العمودي على تلك الجوانب.

يمكننا استخدام تلك المنحدرات بالإضافة إلى إحداثيات النقطة المقابلة للجانب ذي الصلة لإيجاد معادلات الخطوط العمودية على الجوانب التي تمر عبر الزاوية المعاكسة: تسمى هذه "الارتفاع" للجانبين.

عندما تكون ارتفاعات طرفين متقاطعتين ، يكون مركز تقويم العظام (كما سيمر ارتفاع الجانب الثالث عبر هذه النقطة).

لنقم بتسمية نقاطنا لتسهيل الرجوع إليها:

النقطة أ = #(9, 5)#

النقطة ب = #(3, 8)#

النقطة C = #(5, 6)#

للعثور على الميل ، استخدم الصيغة:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

لا نريد هذه المنحدرات ، لكن منحدرات الخطوط متعامدة (في الزوايا اليمنى) عليها. الخط عمودي على خط مع ميل # م # لديه منحدر # -1 / م #، لذلك الخط عمودي على # # AB لديه منحدر #-2# والخط عمودي على #قبل الميلاد# لديه منحدر #1#.

الآن يمكننا أن نجد معادلات ارتفاعات النقطة C (المقابلة AB) والنقطة A (المقابلة BC) على التوالي عن طريق استبدال إحداثيات تلك النقاط في المعادلة

# ص = م × + ج #

بالنسبة للنقطة C ، الارتفاع هو:

# 6 = -2 (5) + c # الذي يعطي # ج = 6 + 10 = 16 # وبالتالي #y = -2x + 16 #

وبالمثل ، بالنسبة للنقطة A:

# 5 = 1 (9) + ج # الذي يعطي # ج = 5-9 = -4 # لذلك المعادلة هي:

# ص = س-4 #

للعثور على مركز تقويم العظام ، نحتاج ببساطة إلى العثور على النقطة التي يعبر فيها هذان الخطان. يمكننا مساواة بعضهم ببعض:

# -2x + 16 = س-4 #

إعادة ترتيب، # 3x = 20 إلى x ~~ 6.67 #

بدل في أي معادلة لإيجاد # ذ # القيمة ، التي هي #2.67#.

وبالتالي فإن orthocenter هو النقطة #(6.67, 2.67)#.