تبلغ مساحة المثلث A 4 وجوانب بطول 8 و 4. يشبه المثلث B المثلث A وله جانب بطول 13. ما هي المناطق القصوى والدنيا الممكنة للمثلث B؟

إجابة:

# "الحد الأقصى" = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #

تفسير:

دع رؤوس المثلث #ا# أن يكون المسمى # P #, # Q #, # R #مع # PQ = 8 # و #QR = 4 #.

باستخدام صيغة هيرون ،

# "المساحة" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #، أين

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # هو محيط النصف ،

نحن لدينا

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

وهكذا،

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} #

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #

# = "المنطقة" = 4 #

حل ل # C #.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

اكمل المربع.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # أو # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 # أو

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #

هذا يدل على أن هناك نوعين محتملين من المثلث يفيان بالشروط المحددة.

في حالة أقصى مساحة للمثلث تكون ، نريد أن يكون الجانب ذو الطول 13 مشابه ا للجانب PQ للمثلث مع #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #.

لذلك ، فإن نسبة المقياس الخطي هي

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061 #

وبالتالي يتم توسيع المنطقة إلى عامل يمثل مربع نسبة المقياس الخطي. لذلك ، يمكن أن يكون أقصى منطقة مثلث B

# 4 ×× (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

وبالمثل ، في حالة وجود مساحة دقيقة للمثلث ، نريد أن يكون الجانب ذو الطول 13 مشابه ا للجانب PQ للمثلث مع #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 #.

لذلك ، فإن نسبة المقياس الخطي هي

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091 #

وبالتالي يتم توسيع المنطقة إلى عامل يمثل مربع نسبة المقياس الخطي. لذلك ، فإن منطقة دقيقة مثلث B يمكن أن يكون

# 4 ×× (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #