المثلث A تبلغ مساحته 9 وجانبين أطوال 6 و 9. يشبه المثلث B المثلث A وله جانب طوله 12. ما هي المناطق القصوى والدنيا الممكنة للمثلث B؟

إجابة:

دقيقة # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

ماكس # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} حوالي 85.39448839 … #

تفسير:

معطى:

# المساحة _ { triangleA} = 9 #

أطوال جانبية من # المثلث # هي # X ، Y ، Z #

# X = 6 ، Y = 9 #

أطوال جانبية من # المثلث # هي # U ، V ، W #

# يو = 12 #

# مثلث A text {مشابه} مثلث B #

أول حل ل # Z #:

استخدام هيرون الفورمولا: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # أين # S = frac {A + B + C} {2} # ، الفرعية في المنطقة 9 ، والأطوال الجانبية 6 و 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

سمح # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

استخدام صيغة التربيعية

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}) ، u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # رفض الحلول السلبية كما # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} ، Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

وهكذا # Z حوالي 3.895718613 # و # 14.79267983 # على التوالي

# لأن المثلث A text {مشابه} المثلث B ، المساحة _ { triangle B} = k ^ 2 * المساحة _ { triangleA} # أين #ك# هو عامل تغيير الحجم

# ك = 12 / ثانية # حيث رتبت بترتيب تصاعدي: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}} ، 6 ، 9،3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

أو في شكل عشري: #s in {3.895718613، 6، 9،14.79267983} #

كلما زادت قيمة # ق # ، أصغر المنطقة وأصغر قيمة # ق # ، كلما زادت المساحة ،

وبالتالي ، للحد من اختيار المنطقة # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

وتعظيم اختيار المنطقة # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

وبالتالي ، الحد الأدنى للمنطقة # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

والحد الأقصى للمنطقة # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} حوالي 85.39448839 … #