كيف يمكنك تبسيط root3 (1)؟

إجابة:

#1# أو #1^(1/3)# =#1#

تفسير:

جذر مكعب 1 هو نفس رفع 1 إلى قوة #1/3#. 1 إلى قوة أي شيء لا يزال 1.

إجابة:

العمل في الواقع الذي نحصل عليه #root 3 {1} = 1 #.

كل عدد غير صفري معقد له ثلاثة جذور مكعب ، لذلك هناك

#root 3 {1} = 1 أو -1/2 م أنا sqrt {3} / 2 #

تفسير:

إذا كنا نعمل بأعداد حقيقية نلاحظ فقط #root 3 {1} = الجذر 3 {1 ^ 3} = 1 #. سأفترض أن الأمر يتعلق بأعداد معقدة.

واحدة من الأشياء الغريبة التي نكتشفها عندما ندخل في أرقام معقدة هي تلك الوظيفة # F (ض) = ه ^ {ض} # هو دوري. النمو الأسي هو عكس ذلك بشكل دوري ، لذلك هذه مفاجأة.

الحقيقة الرئيسية هي هوية أويلر المربعة. اسميها هوية أويلر الحقيقية.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

إظهار هوية أويلر الحقيقية # ه ^ ض # هو دوري مع الفترة # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

يمكننا رفع هوية أويلر الحقيقية لأي قوة عددية #ك#:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

ما علاقة كل هذا بجذر مكعب واحد؟ إنه المفتاح. يروي أن هناك عدد لا حصر له من طرق كتابة واحدة. البعض منهم لديهم جذور مكعب مختلفة من غيرها. هذا هو السبب وراء الأس غير عدد صحيح تؤدي إلى قيم متعددة.

هذا كل شيء windup كبير. عادة ما أبدأ هذه بالكتابة:

# e ^ {2pi k i} = 1 رباعية لالعدد الصحيح #ك#

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

الخطوة الأخيرة هي بالطبع صيغة أويلر # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

منذ أن لدينا # # 2pi دورية وظائف علم حساب المثلثات (الذي يتبع من دورية الصيغة الأسية وأولر) لدينا فقط قيم فريدة من نوعها لثلاث مرات متتالية #ك#الصورة. دعونا تقييم هذا ل # ك = 0،1، -1 #:

#ك#=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

#ك#=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

#ك#=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

لذلك نحصل على ثلاث قيم لجذر مكعب واحد:

#root 3 {1} = 1 أو -1/2 م أنا sqrt {3} / 2 #