للمثلث زوايا A و B و C تقع في (3 ، 5) ، (2 ، 9) ، و (4 ، 8) ، على التوالي. ما هي نقاط النهاية وطول الارتفاع تمر الزاوية C؟

إجابة:

النهاية #(4,8)# و #(40/17, 129/17) # والطول # 7 / sqrt {17} #.

تفسير:

أنا على ما يبدو خبير في الإجابة على أسئلة عمرها عامين. فلنكمل.

الارتفاع من خلال C هو عمودي على AB خلال C.

هناك عدة طرق للقيام بذلك. يمكننا حساب ميل AB كما #-4,# ثم منحدر عمودي هو #1/4# ويمكن أن نجد التقاء عمودي من خلال C والخط من خلال A و B. دعونا نحاول طريقة أخرى.

دعونا ندعو سفح عمودي # F (X، Y) #. نحن نعرف أن المنتج dot الخاص بموجه الاتجاه CF مع متجه الاتجاه AB هو صفر إذا كان متعامدا:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1- ، 4) cdot (x-4، y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

هذه معادلة واحدة. المعادلة الأخرى تقول # F (X، Y) # على الخط من خلال A و B:

# (ص - 5) (2-3) = (س -3) (9-5) #

# 5 - ص = 4 (س -3) #

#y = 17 - 4x #

يجتمعون عندما

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 × = 40 #

# س = 40/17 #

# ذ = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

طول CF من الارتفاع هو

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

دعونا التحقق من ذلك عن طريق حساب المنطقة باستخدام صيغة رباط الحذاء ومن ثم حل للارتفاع. A (3،5)، B (2،9)، C (4،8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #