ما هي معادلة خط الظل إلى f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x في x = sqrtpi؟

إجابة:

المعادلة تقريب ا:

#y = 3.34 × - 0.27 #

تفسير:

للبدء ، نحن بحاجة إلى تحديد # F '(خ) #، حتى نعرف ما منحدر # F (خ) # هو في أي لحظة ، # # س.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

باستخدام قاعدة المنتج:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

هذه مشتقات قياسية:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

لذلك يصبح مشتق لدينا:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

إدخال المعطى # # س القيمة ، المنحدر في #sqrt (بي) # هو:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

هذا هو ميل خطنا في هذه النقطة # x = sqrt (pi) #. يمكننا بعد ذلك تحديد التقاطع y من خلال الإعداد:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

هذا يعطينا المعادلة غير المبسطة لخطنا:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) س + ب #

حل لـ b ، ينتهي بنا المطاف بالصيغة المعقدة المزعجة:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

لذلك ينتهي خطنا:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

إذا قمنا بالفعل بحساب ما تساويه هذه المعاملات الكبيرة المزعجة ، فسينتهي بنا الأمر إلى السطر التقريبي:

#y = 3.34 × - 0.27 #