ما هو جزء لا يتجزأ من (ln (xe ^ x)) / x؟

إجابة:

# كثافة # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

تفسير:

تعطى لنا:

# كثافة # #ln (XE ^ س) / (س) DX #

عن طريق #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = كثافة # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

عن طريق #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = كثافة # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

عن طريق #ln (e) = 1 #:

# = كثافة # # (ln (x) + x) / (x) dx #

تقسيم الكسر (# x / x = 1 #):

# = كثافة # # (ln (x) / x + 1) dx #

فصل التكاملات summed:

# = كثافة # #ln (x) / xdx + int dx #

لا يتجزأ الثاني هو ببساطة #x + C #، أين # C # هو ثابت التعسفي. أول لا يتجزأ ، ونحن نستخدم # ش #-الاستبدال:

سمح #u equiv ln (x) #، بالتالي #du = 1 / x dx #

عن طريق # ش #-الاستبدال:

# = int udu + x + C #

دمج (ثابت التعسفي # C # يمكن أن يمتص الثابت التعسفي لأول مكمل غير محدد:

# = u ^ 2/2 + x + C #

استبدال العودة من حيث # # س:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

إجابة:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

تفسير:

نبدأ باستخدام هوية اللوغاريتم التالية:

#ln (أ ب) = من قانون الجنسية (أ) + قانون الجنسية (ب) #

بتطبيق هذا على التكامل ، نحصل على:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

لتقييم التكامل المتبقي ، نستخدم التكامل حسب الأجزاء:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

أنا سوف أدع # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # و #G '(س) = 1 / س #. يمكننا بعد ذلك حساب ما يلي:

# F '(س) = 1 / س # و #G (س) = من قانون الجنسية (خ) #

يمكننا حينئذ تطبيق صيغة التكامل حسب الأجزاء للحصول على:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

نظر ا لأن لدينا جزء ا لا يتجزأ من جانبي علامة التساوي ، يمكننا حلها مثل المعادلة:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

عند العودة إلى التعبير الأصلي ، حصلنا على إجابتنا النهائية:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #