إجابة:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
تفسير:
لهذه المشكلة معنى # 4-9x ^ 2> = 0 #، وبالتالي # -2/3 <= س <= 2/3 #. لذلك يمكننا اختيار # 0 <= ش <= بي # مثل ذلك # س = 2 / 3cosu #. باستخدام هذا ، يمكننا استبدال المتغير x في لا يتجزأ باستخدام # DX = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # هنا نستخدم ذلك # 1-جتا ^ 2U = الخطيئة ^ 2U # وذلك مقابل # 0 <= ش <= بي # #sinu> = 0 #.
الآن نستخدم التكامل بالأجزاء للعثور عليه # intcos ^ 2udu = = intcosudsinu sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2U = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + ش + ج-intcos ^ 2udu #. وبالتالي # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + ش + ج) #.
لذلك وجدنا #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #، الآن نحن بديل # # س العودة ل # ش #باستخدام # ش = جتا ^ (- 1) ((3X) / 2) #، وبالتالي #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + ج #.
يمكننا تبسيط هذا أكثر باستخدام تعريف الجيب والجيب من حيث المثلثات. للمثلث الصحيح بزاوية # ش # في واحدة من الزوايا غير الصحيحة ، # sinu = "الجانب الآخر" / "الجانب الأطول" #، في حين # cosu = "الجانب المجاور" / "الجانب الأطول" #، بما أننا نعرف # cosu = (3X) / 2 #، يمكننا اختيار الجانب المجاور ليكون # # 3X وأطول جانب أن يكون #2#. باستخدام نظرية فيثاغورس ، نجد أن الجانب الآخر هو #sqrt (4-9x ^ 2) #، وبالتالي #sin (كوس ^ (- 1) ((3X) / 2)) = سينو = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. وبالتالي #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
