كيف يمكنني العثور على جزء لا يتجزأ من ^ -1 (x) dx؟

من خلال التكامل عن طريق أجزاء ،

#int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C #

دعونا نلقي نظرة على بعض التفاصيل.

سمح # ش = الخطيئة ^ {- 1} س # و # DV = DX #.

#Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} # و # ت = س #

من خلال التكامل عن طريق أجزاء ،

#int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2} dx #

سمح # ش = 1-س ^ 2 #. #Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} #

# intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = - 1 / 2intu ^ {- 1/2} du #

# = - ش ^ {1/2} + C = -sqrt {1-س ^ 2} + C #

بالتالي،

#int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C #