المزيد عن الميكانيكا؟

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

سنستخدم صيغة Euler Lagrange المسماة

# d / dt ((جزئي) / (نقطة جزئية q_i)) - (جزئية L) / (جزئية q_i) = Q_i #

أين #L = T-V #. في هذا التمرين لدينا # V = 0 # وبالتالي #L = T #

دعوة # # x_a مركز اسطوانة اليسار تنسيق و # # x_b واحد صارم ، لدينا

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

هنا # sinalpha = R / Lsintheta # استبدال حتى ل #ألفا#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

مشتقة الآن

#dot x_b = dot x_a + Rsin (theta) dot theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)))) dot theta #

لكن

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

هنا # J # هو زخم الجمود فيما يتعلق بمركز الكتلة. أيضا،

# v_a = dot x_a = R dot theta #

#omega_a = نقطة ثيتا #

لذلك ، بعد البدائل والدعوة #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # نحن لدينا

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) نقطة theta ^ 2 #

اختارنا # # ثيتا كما الإحداثيات المعممة. لذلك نحن سوف يقلل #F# يشتغل في تنسيق # # س لقوة معادلة في # # ثيتا. هذا الإحداثيات تتداول بشكل حكيم لذلك نحن بحاجة إلى زخم معمم فيما يتعلق بنقطة الاتصال في الأرضية

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

يتم الحصول على معادلات الحركة بعد

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # حل الآن ل #dot theta #

# ddottheta = (FR (1 + خطيئة (ثيتا)) - (J + MR ^ 2) (1 + خطيئة (ثيتا) والحادي عشر (ثيتا)) (كوس (ثيتا) والحادي عشر (ثيتا) + خطيئة (ثيتا) والحادي عشر "(ثيتا)) dottheta ^ 2) / ((J + MR ^ 2) (1+ (1 + خطيئة (ثيتا) والحادي عشر (ثيتا)) ^ 2)) #

المرفقة قطعتين. العروض الأولى # # ثيتا التطور والثاني هو ل # # dottheta

قيمة المعلمات:

# R = 0.5، J = 1، ط = 1، L = 2 # يظهر القوة المطبقة باللون الأحمر dased.