ما هو int 16sin ^ 2 xcos ^ 2 x dx؟ - حساب التفاضل والتكامل 2024

إجابة:

# 2x - الخطيئة (4x) / 2 + k # مع #k في RR #.

تفسير:

علينا أن نتذكر بعض الصيغ. هنا ، سنحتاج # 2 sin (theta) cos (theta) = sin (2theta) #. يمكننا أن نجعلها تظهر بسهولة لأننا نتعامل مع مربعات #sin (خ) # و #cos (خ) # ونحن نضربهم بعدد زوجي.

# 16sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = 4 (4cos ^ 2 (x) sin ^ 2 (x)) = 4 (2sin (x) cos (x)) ^ 2 = 4 (sin (2x)) ^ 2 #.

وبالتالي # int16sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) dx = 4intsin ^ 2 (2x) dx #.

ونحن نعرف ذلك # sin ^ 2 (theta) = (1-cos (2theta)) / 2 # لان #cos (2theta) = 1-2sin ^ 2 (theta) #، وبالتالي # sin ^ 2 (2x) = (1 - cos (4x)) / 2 #.

وبالتالي النتيجة النهائية: # 4intsin ^ 2 (2x) = 4int (1 - cos (4x)) / 2dx = 4intdx / 2 - 4intcos (4x) / 2dx = 2x - 2intcos (4x) dx = 2x + c - 2sin (4x) / 4 + ا# مع # a ، c في RR #. دعنا نقول # ك = أ + ج #، وبالتالي الجواب النهائي.

كيف يمكنني العثور على int int (x * cos (5x)) dx؟

سنضع في اعتبارنا صيغة التكامل بالأجزاء ، وهي: int u dv = uv - int v du للعثور على هذا التكامل بنجاح ، سنسمح لك = x ، و dv = cos 5x dx. لذلك ، du = dx و v = 1/5 sin 5x. (يمكن العثور على v باستخدام بدائل u السريعة). السبب في أنني اخترت x لقيمة u لأنني أعلم أنه في وقت لاحق سأنتهي بالتكامل v مضروبة في مشتق u. نظر ا لأن مشتق u هو 1 فقط ، وبما أن دمج دالة علم حساب المثلثات في حد ذاته لا يجعلها أكثر تعقيد ا ، فقد أزلنا x فعلي ا من integrand وعلينا فقط القلق بشأن الجيب الآن. لذا ، عند توصيل صيغة IBP ، نحصل على: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx إن سحب 1/5 من integrand يعطينا: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int

كيف يمكنني العثور على int int (x * e ^ -x) dx؟

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Process: int x e ^ (- x) dx =؟ سيتطلب هذا التكامل التكامل بالأجزاء. ضع في اعتبارك الصيغة: int u dv = uv - int v du سنسمح لك = x و dv = e ^ (- x) dx. لذلك ، دو = دي إكس. العثور على v سيتطلب استبدال u ؛ سأستخدم حرف q بدلا من u لأننا نستخدم u بالفعل في صيغة التكامل بالأجزاء. v = int e ^ (- x) dx let q = -x. وبالتالي ، dq = -dx سنقوم بإعادة كتابة التكامل ، مع إضافة سلبيين لاستيعاب dq: v = -int -e ^ (- x) dx مكتوب من حيث q: v = -int e ^ (q) dq لذلك ، v = -e ^ (q) استبدالنا بـ q يعطينا: v = -e ^ (- x) الآن ، إذا نظرنا إلى الوراء في صيغة IBP ، لدينا كل ما نحتاجه لبدء الاستبدال: int

ما هي أول ثلاثة مشتقات من (xcos (x) -sin (x)) / (x ^ 2)؟

الإجابة هي: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. هذا هو السبب: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3X ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / س ^ 4.