كيف يمكنني العثور على int int (x * cos (5x)) dx؟

سنضع في اعتبارنا صيغة التكامل بالأجزاء ، وهي:

#int u dv = uv - int v du #

للعثور على هذا لا يتجزأ بنجاح سوف ندع #u = x #و #dv = cos 5x dx #. وبالتالي، #du = dx # و #v = 1/5 sin 5x #. (#الخامس# يمكن العثور عليها باستخدام سريع # ش #-الاستبدال)

السبب اخترت # # س لقيمة # ش # لأنني أعرف أنه في وقت لاحق سوف ينتهي دمج #الخامس# مضروبا # ش #مشتق. منذ مشتق من # ش # انه ببساطة #1#ونظر ا لأن دمج وظيفة حساب المثلثات في حد ذاته لا يجعلها أكثر تعقيد ا ، فقد أزلنا بشكل فعال # # س من integrand وعليك فقط أن تقلق بشأن الجيب الآن.

لذلك ، عند توصيل صيغة IBP ، نحصل على:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

سحب #1/5# من integrand يعطينا:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

دمج الجيب سوف يستغرق فقط # ش #-الاستبدال. منذ لقد استخدمنا بالفعل # ش # لصيغة IBP سأستخدم الرسالة # ف # في حين أن:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

للحصول على # 5 dx # داخل integrand سوف تضرب لا يتجزأ من قبل آخر #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

واستبدال كل شيء من حيث # ف #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

ونحن نعلم أن جزءا لا يتجزأ من # # الخطيئة هو # # -cos، حتى نتمكن من الانتهاء من هذا لا يتجزأ بسهولة. تذكر ثابت التكامل:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

الآن سنقوم ببساطة بديلا مرة أخرى # ف #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

وهناك لا يتجزأ لدينا.