مجموع مربع اثنين من الأرقام المتتالية هو 390. كيف يمكنك صياغة المعادلة التربيعية للعثور على الرقمين؟

إجابة:

سيكون من الدرجة الثانية # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

هذا لا يوجد لديه حلول عدد صحيح.

لا مجموع مربعات أي اثنين من الأعداد الصحيحة يساوي #390#.

مجموع مربعات الأعداد الصحيحة غاوس يمكن أن يكون 390.

تفسير:

إذا كان أقل من رقمين هو # ن #، ثم كان أكبر # ن + 1 # ومجموع المربعات هو:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

لذلك المعادلة التربيعية التي نتطلع إلى حلها هي:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

أو إذا كنت تفضل:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

لاحظ أن ذلك لأي عدد صحيح # ن # المجموع # 2N ^ 2 + 2N + 1 # سيكون غريبا ، لذلك ليس من الممكن ل #390# ليكون مجموع المربعات من اثنين من الأعداد الصحيحة consecutivie.

هل يمكن التعبير عنها كمجموع المربعات لأي عددين صحيحين؟

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# ليس مربع

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# ليس مربع

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# ليس مربع

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# ليس مربع

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# ليس مربع

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# ليس مربع

لا - إذا ذهبنا إلى أبعد من ذلك ، فإن البقية الكبيرة بعد طرح المربع لن تكون واحدة من تلك التي فحصناها بالفعل.

#اللون الابيض)()#

الحاشية المعقدة

هل هناك زوج من الأعداد الصحيحة الجوسية مجموع مربعها هو #390#?

نعم فعلا.

لنفترض أنه يمكننا إيجاد عدد صحيح غاوسي # م + ني #الجزء الحقيقي من مربع #195#. عندئذ يكون مجموع مربع ذلك العدد الصحيح من غاوس وساحة تقارنها المعقدة حلا.

نجد:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

لذلك نحن نريد أن نجد الأعداد الصحيحة # م ، ن # مثل ذلك # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

حسنا:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

وبالتالي نجد:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

حل آخر ، يأتي من حقيقة أن كل رقم فردي هو اختلاف المربعات المكونة من رقمين متتاليين:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #