ما هو orthocenter من مثلث مع زوايا في (9 ، 7) ، (4 ، 4) ، و (8 ، 6) #؟

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

سوف نسمي القمم # A = (4،4) #, # B = (9،7) # و # C = (8،6) #.

نحتاج إلى إيجاد معادلتين عموديتان على الجانبين وتمرير اثنين من القمم. يمكننا أن نجد ميل اثنين من الجانبين وبالتالي ميل اثنين من الخطوط العمودية.

منحدر AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

منحدر عمودي على هذا:

#-5/3#

هذا يجب أن يمر عبر قمة الرأس C ، لذلك معادلة الخط هي:

# ص 6 = -5/3 (خ-8) #, # 3Y = -5x + 58 # 1

منحدر قبل الميلاد:

#(6-7)/(8-9)=1#

منحدر عمودي على هذا:

#-1#

هذا يجب أن يمر عبر قمة A ، لذلك معادلة الخط هي:

# ص 4 = - (خ 4) #, # ذ = -x + 8 # 2

حيث يتقاطع 1 و 2 مع مركز تقويم العظام.

حل 1 و 2 في وقت واحد:

# 3 (-x + 8) = - 5X + 58 #

# -3x + 24 = + 58 -5x #

# -3x + 24 = 5X + 58 => س = 34/2 = 17 #

باستخدام 2:

# ص = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

نظر ا لأن المثلث منفرج ا ، يكون الطرف العظمي خارج المثلث. يمكن ملاحظة ذلك إذا قمت بتمديد خطوط الارتفاع حتى تعبر.

إجابة:

Orthocenter

# x_0 = 17 ، y_0 = -9 #

Circumcenter

# x_0 = 2، y_0 = 13 #

تفسير:

Orthocenter

معطى # p_1 ، p_2 ، p_3 # و

#vec v_ (12) ، vec v_ (13) ، vec v_ (23) # مثل ذلك

# << vec v_ (12)، p_2-p_1 >> = << vec v_ (13)، p_3-p_1 >> = << vec v_ (23)، p_3-p_2 >> = 0 #

يمكن الحصول على تلك المتجهات بسهولة ، على سبيل المثال

# p_1 = (x_1 ، y_1) # و # p_2 = (x_2 ، y_2) # وثم

#vec v_ (12) = (y_1-y_2 ، - (x_1-x_2)) #

الآن لدينا

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

تتقاطع هذه الخطوط الثلاثة في مركز تقويم المثلث

اختيار # L_1 ، L_2 # نحن لدينا

# (x_0 ، y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # أو

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

إعطاء المعادلات

# {(<< vec v_ (13) ، vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13) ، vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1 ، vec v_ (13) >>) ، (<< vec v_ (23) ، vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23) ، vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1 ، vec v_ (23) >>):} #

حل الآن ل # lambda_1، lambda_2 # نحن لدينا

# lambda_1 = -4 ، lambda_2 = -13 #

وثم

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17 ، -9) #

Circumcenter

يتم إعطاء معادلة محيط بواسطة

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

الآن إذا # {p_1 ، p_2 ، p_3} في C # نحن لدينا

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0)، (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0) ، (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

طرح الأول من الثاني

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

طرح الأول من الثالث

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

إعطاء نظام المعادلات

# ((x_2-x_1 ، y_2-y_1) ، (x_3-x_1 ، y_3-y_1))) ((x_0) ، (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- 2- (x_1 ^ 2 + + y_1 ^ 2))، (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (X_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

الآن استبدال القيم المعطاة التي نحصل عليها

# x_0 = 2، y_0 = 13 #

تعلق مؤامرة تظهر orthocenter (أحمر) و circumcentercenter (الأزرق).