ما هي extrema المحلية ، إن وجدت ، من f (x) = (xlnx) ^ 2 / x؟

إجابة:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) حوالي 0.541 #

تفسير:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

تطبيق قاعدة المنتج

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

للحد الأقصى المحلي أو الحد الأدنى المحلي: #f '(x) = 0 #

سمح # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 أو z = -2 #

وبالتالي للحد الأقصى المحلي أو الحد الأدنى:

#lnx = 0 أو lnx = -2 #

#:. x = 1 أو x = e ^ -2 تقريب ا 0.135 #

الآن دراسة الرسم البياني لل # ضعف (lnx) ^ 2 # أدناه.

رسم بياني {x (lnx) ^ 2 -2.566 ، 5.23 ، -1.028 ، 2.87}

يمكننا أن نلاحظ أن المبسطة # F (خ) # لديه الحد الأدنى المحلي في # س = 1 # والحد الأقصى المحلي في # x في (0 ، 0.25) #

بالتالي: #f_min = f (1) = 0 # و #f_max = f (e ^ (- 2)) حوالي 0.541 #