ما هي extrema المحلية ، إن وجدت ، من f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x؟

إجابة:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # لديه الحد الأدنى المحلي ل # س = 1 # والحد الأقصى المحلي ل # س = 3 #

تفسير:

نحن لدينا:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

يتم تعريف وظيفة في كل من # # RR مثل # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

يمكننا تحديد النقاط الحرجة من خلال إيجاد حيث يساوي المشتق الأول صفر ا:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

لذلك النقاط الحرجة هي:

# x_1 = 1 # و # x_2 = 3 #

بما أن المقام هو إيجابي دائما ، علامة # F '(خ) # هو عكس علامة البسط # (س ^ 2-4x + 3) #

الآن نحن نعلم أن الحدود الثانية من الدرجة الثانية ذات معامل موجب موجبة تكون موجبة خارج الفاصل الزمني المكون بين الجذور والسالب في الفاصل الزمني بين الجذور ، بحيث:

#f '(x) <0 # إلى عن على # x في (-oo ، 1) # و # x في (3 ، + oo) #

#f '(x)> 0 # إلى عن على # × في (1،3) #

لدينا بعد ذلك # F (خ) # يتناقص في # (- oo ، 1) #، زيادة في #(1,3)#، وتناقص مرة أخرى في # (3 + س س) #، لهذا السبب # x_1 = 1 # يجب أن يكون الحد الأدنى المحلي و # x_2 = 3 # يجب أن يكون الحد الأقصى المحلي.

الرسم البياني {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42 ، 8.58 ، -0.08 ، 4.92}