ما هو تكامل int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx؟

إجابة:

# 1/2 -ln (القيمة المطلقة (الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X)) + 1)) + قانون الجنسية (القيمة المطلقة (الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X)) - 1)) + الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X)) + C #

تفسير:

أولا نحن بديلا:

# ش = ه ^ (2X) +1؛ ه ^ (2X) = ش-1 #

# (دو) / (DX) = 2E ^ (2X)؛ DX = (دو) / (2E ^ (2X)) #

#intsqrt (ش) / (2E ^ (2X)) دو = intsqrt (ش) / (2 (ش-1)) دو = 1 / 2intsqrt (ش) / (ش-1) دو #

إجراء الاستبدال الثاني:

# ت ^ 2 = ش، ت = الجذر التربيعي (ش) #

# 2V (DV) / (دو) = 1؛ دو = 2vdv #

# 1 / 2intv / (ت ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (ت ^ 2-1) DV = INT1 + 1 / (ت ^ 2-1) DV #

انقسام باستخدام الكسور الجزئية:

# 1 / ((الخامس + 1) (ت 1)) = A / (ت + 1) + B / (ت-1) #

# 1 = A (ت-1) + B (ت + 1) #

# ت = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# ت = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1/2 #

الآن لدينا:

# -1 / (2 (الخامس + 1)) + 1 / (2 (الخامس-1)) #

# INT1 + 1 / ((الخامس + 1) (ت 1)) DV = int1-1 / (2 (الخامس + 1)) + 1 / (2 (الخامس-1)) DV = 1/2 -ln (القيمة المطلقة (ت + 1)) + قانون الجنسية (القيمة المطلقة (ت-1)) + ضد + C #

استبدال مرة أخرى في # ت = الجذر التربيعي (ش) #:

# 1/2 -ln (القيمة المطلقة (الجذر التربيعي (ش) +1)) + قانون الجنسية (القيمة المطلقة (الجذر التربيعي (ش) -1)) + الجذر التربيعي (ش) + C #

استبدال مرة أخرى في # ش = 1 + ه ^ (2X) #

# 1/2 -ln (القيمة المطلقة (الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X)) + 1)) + قانون الجنسية (القيمة المطلقة (الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X)) - 1)) + الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X)) + C #