ما هو تكامل int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx؟

إجابة:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2X-1) + C #

تفسير:

مشكلتنا الكبيرة في هذا التكامل هي الجذر ، لذلك نريد أن نتخلص منه. يمكننا القيام بذلك عن طريق إدخال بديل # ش = الجذر التربيعي (2X-1) #. المشتق هو إذن

# (دو) / DX = 1 / الجذر التربيعي (2X-1) #

لذلك نحن نقسم (ونذكر أن القسمة على المعاملة بالمثل هي نفس الضرب بالمقام فقط) للتكامل فيما يتعلق # ش #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / إلغاء (sqrt (2x-1)) إلغاء (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

الآن كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن # س ^ 2 # من ناحية # ش # (بما أنك لا تستطيع الدمج # # س بالنسبة إلى # ش #):

# ش = الجذر التربيعي (2X-1) #

# ش ^ 2 = 2X-1 #

# ش ^ 2 + 1 = 2X #

# (ش ^ 2 + 1) / 2 = س #

# س ^ 2 = ((ش ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (ش ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (ش ^ 4 + 2U ^ 2 + 1) / 4 #

يمكننا توصيل هذا مرة أخرى إلى جزء لا يتجزأ لدينا للحصول على:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

يمكن تقييم ذلك باستخدام قاعدة القدرة العكسية:

# 1/4 * ش ^ 5/5 + 04/02 * ش ^ 3/3 + ش / 4 ش + C #

إعادة تقديم ل # ش = الجذر التربيعي (2X-1) #، نحن نحصل:

# 20/1 (2X-1) ^ (5/2) +1/6 (2X-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2X-1) + C #