ما هي بعض الأمثلة على سلسلة متقاربة؟

إجابة:

فيما يلي ثلاثة أمثلة مهمة …

تفسير:

سلسلة هندسية

إذا #abs (r) <1 # ثم مجموع السلسلة الهندسية #a_n = r ^ n a_0 # متقارب

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

وظيفة الأس

سلسلة تعريف # ه ^ س # متقاربة لأي قيمة # # س:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

لإثبات هذا ، لأي معطى # # سهيا # N # يكون عدد صحيح أكبر من #abs (خ) #. ثم #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # يتلاقى لأنه مبلغ محدود و #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # يتقارب لأن القيمة المطلقة لنسبة المصطلحات المتتالية هي أقل من #abs (x) / (N + 1) <1 #.

مشكلة بازل

مشكلة بازل ، التي تم طرحها في عام 1644 وحلها Euler في عام 1734 ، طلبت قيمة مجموع المعاملة بالمثل من المربعات من الأعداد الصحيحة الموجبة:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #

كيف يمكنك العثور على المصطلحات الثلاثة الأولى من سلسلة Maclaurin لـ f (t) = (e ^ t - 1) / t باستخدام سلسلة Maclaurin من e ^ x؟

نعلم أن سلسلة Maclaurin من e ^ x هي sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) يمكننا أيض ا اشتقاق هذه السلسلة باستخدام توسيع Maclaurin لـ f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) وحقيقة أن جميع مشتقات e ^ x لا تزال e ^ x و e ^ 0 = 1. الآن ، ما عليك سوى استبدال السلسلة أعلاه في (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / x = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) إذا كنت تريد أن يبدأ الفهرس في i = 0 ، ببساطة استبدل n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) الآن ، فقط قم بتقييم المصطلحات الثلاثة الأولى للحصول على ~~ 1 + x

هل السلسلة sum_ (n = 0) ^ infty1 / ((2n + 1)!) متقاربة تمام ا ، متقاربة بشكل مشروط أو متباعدة؟

"قارنها بـ" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = exp (1) = e = 2.7182818 ... "كل مصطلح يساوي أو يقل عن" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = exp (1) = e = 2.7182818 ... "جميع المصطلحات موجبة لذلك مجموع S من السلسلة بين" 0 <S <e = 2.7182818 .... "وبالتالي فإن السلسلة هي تماما متقاربة ".

لماذا يكون لدى بعض الناس سلسلة أطول مما ينبغي ، فقد رأيت الآن عدد ا قليل ا من الأشخاص الذين لديهم سلسلة طويلة جد ا بأعداد ، لكن يمكنني أن أرى ذلك في ملخص مساهمة كل يوم لم يكتبوا شيئ ا في الأيام الأخيرة. هذا الخلل؟

ها هي الصفقة. أول ما يجب ذكره هنا هو أن نقاط النشاط تتأثر بالفعل بوجود خطأ معروف. باختصار ، يغير هذا الخطأ النقطة التي تميز الإدخال الأول ، والذي يتوافق مع النقطة الموجودة في الركن الأيمن العلوي من خريطة النشاط ، إلى لا نشاط. إليك مثال على ما يبدو باستخدام نقاط نشاطي. لاحظ أن لدي 5 تعديلات في 8 كانون الثاني (يناير) 2017. إليك لقطة شاشة لنقاط نشاطي التي أخذتها في اليوم التالي بقدر ما يمكننا أن نقول ، فإن الخطأ يغير النقطة إلى لا يوجد نشاط عشوائي ، مما يعني أنه في بعض الأيام الإدخال الصحيح لهذه النقطة ، في بعض الأيام لا ترى أي نشاط. ضع في اعتبارك أن هذا يحدث فقط للنقطة التي تمثل الإدخال الأول. لا تتأثر بقية النقاط بالخطأ. كم