كيف يمكنك العثور على المصطلحات الثلاثة الأولى من سلسلة Maclaurin لـ f (t) = (e ^ t - 1) / t باستخدام سلسلة Maclaurin من e ^ x؟

نحن نعلم أن سلسلة ماكلورين من # ه ^ س # هو

#sum_ (ن = 0) ^ ^ oox ن / ن (!) #

يمكننا أيض ا اشتقاق هذه السلسلة باستخدام توسيع Maclaurin # F (س) = sum_ ن (= 0) ^ ^ OOF ((ن)) (0) س ^ ن / ن (!) # وحقيقة أن جميع مشتقات # ه ^ س # مازال # ه ^ س # و # ه ^ 0 = 1 #.

الآن ، فقط استبدال السلسلة أعلاه إلى

# (ه ^ س-1) / س #

# = (sum_ (ن = 0) ^ OO (س ^ ن / (ن)) - 1) / س #

# = (1 + sum_ (ن = 1) ^ س س (س ^ ن / (ن)) - 1) / س #

# = (sum_ (ن = 1) ^ س س (س ^ ن / ن (!))) / س #

# = sum_ (ن = 1) ^ ^ oox (ن 1) / (ن!) #

إذا كنت تريد أن يبدأ الفهرس في # ط = 0 #، بديلا ببساطة # ن = ط + +1 #:

# = sum_ (ط = 0) ^ ^ oox ط / ((ط + 1)!) #

الآن ، فقط تقييم الشروط الثلاثة الأولى للحصول عليها

# ~~ 1 + س / 2 + س ^ 2/6 #