Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))؟

إجابة:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

تفسير:

نسعى:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

عندما نقيم حد ا ، فإننا ننظر إلى سلوك الوظيفة "بالقرب من النقطة" ، وليس بالضرورة سلوك الوظيفة "عند" النقطة المعنية ، وبالتالي #x rarr 0 #، في أي وقت نحتاج إلى النظر في ما يحدث في # س = 0 #، وبالتالي نحصل على نتيجة تافهة:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

من أجل توضيح رسم بياني للوظيفة لتصور السلوك المحيط # س = 0 #

رسم بياني {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10 ، 10 ، -5 ، 5}

يجب أن يكون واضحا أن وظيفة # ص = الخطيئة (1 / س) / الخطيئة (1 / س) # غير معرف في # س = 0 #

إجابة:

من فضلك، انظر بالأسفل.

تفسير:

تعاريف حد الوظيفة التي أستخدمها تعادل:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # إذا وفقط لكل إيجابية # # إبسيلون، هناك إيجابية # دلتا # مثل هذا لكل # # س، إذا # 0 <abs (x-a) <delta # ثم #abs (f (x) - L) <epsilon #

بسبب معنى "#abs (f (x) - L) <epsilon #"، وهذا يتطلب ذلك للجميع # # س مع # 0 <abs (x-a) <delta #, # F (خ) # ويعرف.

هذا هو ، بالنسبة المطلوب # دلتا #، كل # (أ-دلتا، و+ دلتا) # باستثناء ربما #ا#يكمن في مجال #F#.

كل هذا يحصل لنا:

#lim_ (xrarra) و (خ) # موجود فقط إذا #F# تم تعريفه في بعض الفاصل الزمني المفتوح الذي يحتوي #ا#، باستثناء ربما في #ا#.

(#F# يجب أن تكون محددة في بعض الأحياء المفتوحة المحذوفة من #ا#)

وبالتالي، #lim_ (xrarr0) الخطيئة (1 / س) / الخطيئة (1 / س) # غير موجود.

مثال تافه تقريبا

#f (x) = 1 # إلى عن على # # س حقيقة غير عقلانية (غير محددة للعقلانية)

#lim_ (xrarr0) f (x) # غير موجود.