ما هي قيمة؟ lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

إجابة:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

تفسير:

نسعى:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

كلا البسط و the2 المقام #rarr 0 # مثل #x rarr 0 #. وبالتالي الحد # # L (إن وجد) هو شكل غير محدد #0/0#وبالتالي، يمكن أن نطبق قاعدة لوبيتال للحصول على:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

الآن، وذلك باستخدام النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

و،

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

و حينئذ:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

مرة أخرى هذا هو شكل غير محدد #0/0#وبالتالي ، يمكننا تطبيق قاعدة L'Hôpital مرة أخرى للحصول على:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

والتي ، يمكننا تقييم:

# L = (0) / (2-0) = 0 #