كيفية تحويل r = 7 / (5-5costheta) إلى شكل مستطيل؟

إجابة:

هذا هو المكافئ الجانبي # 70 × = 25 ذ ^ 2 - 49. #

تفسير:

هذا مثير للاهتمام لأنه يتباعد. الحد الأدنى للمقام هو الصفر. إنه قسم مخروطي. مجرد تباعد أعتقد أنه يجعل من قطع المكافئ. هذا لا يهم كثير ا ، لكنه يخبرنا أنه يمكننا الحصول على شكل جبري جميل بدون وظائف علم حساب المثلثات أو جذور مربعة.

أفضل نهج هو إلى الوراء kinda. نستخدم القطبية إلى بدائل مستطيلة عندما يبدو أن الطريقة الأخرى ستكون أكثر مباشرة.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

وبالتالي # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

نحن نرى # R> 0. # نبدأ بمسح الكسر.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

لدينا #r cos theta # اذن هذا # س #

# 5 ص - 5 س = 7 #

# 5r = 5 × + 7 #

ملاحظتنا الأولية كانت #r> 0 # حتى تربيع هو موافق.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

الآن نحن بديلا مرة أخرى.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

من الناحية الفنية أجبنا على السؤال في هذه المرحلة ، ويمكن أن نتوقف هنا. ولكن لا يزال هناك جبر يجب القيام به ، ونأمل أن تكون المكافأة في النهاية: ربما يمكننا أن نظهر أن هذا هو في الواقع قطع مكافئ.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 ذ ^ 2 - 49 = 70 × #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

الرسم البياني {x = 1/70 (25 سنة ^ 2 - 49) -17.35 ، 50 ، -30 ، 30}

نعم ، هذا مكافئ ، استدارة # 90 ^ CIRC #من الاتجاه المعتاد.

تحقق: ألفا مقلة العين