ما هو طول قوس r (t) = (t ، t ، t) على القصدير [1،2]؟

إجابة:

#sqrt (3) #

تفسير:

نسعى لطول قوس وظيفة المتجه:

# bb (ul r (t)) = << t ، t ، t >> # إلى عن على #t في 1،2 #

التي يمكننا تقييمها بسهولة باستخدام:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

لذلك نحن نحسب المشتق ، # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1،1،1 >> #

وبالتالي نكتسب طول القوس:

# L = int_1 ^ 2 || << 1،1،1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

هذه النتيجة التافهة يجب ألا تكون مفاجئة لأن المعادلة الأصلية المعطاة هي تلك الموجودة في خط مستقيم.