ما هو طول قوس r (t) = (te ^ (t ^ 2) ، t ^ 2e ^ t ، 1 / t) على القصدير [1 ، ln2]؟

إجابة:

طول القوس #~~ 2.42533 # (5dp)

طول القوس سالب بسبب الحد الأدنى #1# كونها أكبر من الحد الأعلى ل # # LN2

تفسير:

لدينا وظيفة المتجهات حدودي ، التي قدمها:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2) ، t ^ 2e ^ t ، 1 / t >> #

من أجل حساب طول القوس ، سوف نطلب مشتق المتجه ، والذي يمكننا حسابه باستخدام قاعدة المنتج:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)) ، (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t) ، -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2) ، t ^ 2e ^ t + 2te ^ t ، -1 / t ^ 2 >> #

ثم نحسب حجم ناقل المشتق:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

ثم يمكننا حساب طول القوس باستخدام:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

من غير المحتمل أن نحسب هذا التكامل باستخدام التقنية التحليلية ، لذلك بدلا من ذلك باستخدام الطرق العددية نحصل على تقدير تقريبي:

# L ~~ 2.42533 # (5dp)

طول القوس سالب بسبب الحد الأدنى #1# كونها أكبر من الحد الأعلى ل # # LN2