كيف يمكنك العثور على مشتق y = sin ^ 2x cos ^ 2x؟

إجابة:

# دى / DX = -2sinxcosx (الخطيئة ^ 2X-جتا ^ 2X) #

تفسير:

استخدم قاعدة المنتج:

إذا # ذ = و (خ) ز (خ) #، ثم

# دى / DX = و "(خ) ز (خ) + ز" (خ) و (خ) #

وبالتالي،

# F (س) = الخطيئة ^ 2X #

#G (س) = جتا ^ 2X #

استخدم قاعدة السلسلة للعثور على كلا المشتقات:

أذكر ذلك # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

# F '(س) = 2sinxd / DX (sinx) = 2sinxcosx #

#G '(س) = 2cosxd / DX (cosx) = - 2sinxcosx #

وهكذا،

# دى / DX = 2sinxcosx (كوس ^ 2X) -2sinxcosx (الخطيئة ^ 2X) #

# => - 2sinxcosx (الخطيئة ^ 2X-جتا ^ 2X) #

هناك هوية ذلك # 2sinxcosx = sin2x #، ولكن هذه الهوية مربكة أكثر من كونها مفيدة عند تبسيط الإجابات.

إجابة:

هناك شيء يجعل الإجابة أسهل كثير ا في العثور عليها.

تفسير:

يمكنك أيضا أن تتذكر ذلك #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #، وبالتالي تعبير جديد عن وظيفة.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2X) / 4 # وهو أسهل بكثير في الاشتقاق (مربع واحد بدلا من 2).

مشتق من # ش ^ ن # هو # ن * u'u ^ (ن 1) # ومشتق من #sin (2X) # هو # 2cos (2X) #

وبالتالي #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

ميزة هذه الهويات المثلثية هي للفيزيائيين ، يمكنهم العثور على كل جزء من المعلومات في الموجة التي تمثلها هذه الوظيفة. كما أنها مفيدة للغاية عندما تضطر إلى العثور على بدايات الدوال المثلثية.