إثبات ذلك: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)؟

إجابة:

دليل أدناه

باستخدام اقتران ونسخة مثلثية من نظرية فيثاغورس.

تفسير:

الجزء 1

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #

#COLOR (أبيض) ("XXX") = الجذر التربيعي (1-cosx) / الجذر التربيعي (1 + cosx) #

#color (أبيض) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) #

#COLOR (أبيض) ("XXX") = (1-cosx) / الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) #

الجزء 2

وبالمثل

#sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#COLOR (أبيض) ("XXX") = (1 + cosx) / الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) #

الجزء 3: الجمع بين المصطلحات

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + الجذر التربيعي ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#COLOR (أبيض) ("XXX") = (1-cosx) / الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) + (1 + cosx) / الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) #

#COLOR (أبيض) ("XXX") = 2 / الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) #

#COLOR (أبيض) ("XXXXXX") #ومنذ ذلك الحين # الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X = 1 # (بناء على نظرية فيثاغورس)

#COLOR (أبيض) ("XXXXXXXXX") الخطيئة ^ 2X = 1-جتا ^ 2X #

#COLOR (أبيض) ("XXXXXXXXX") الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) = القيمة المطلقة (sinx) #

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + الجذر التربيعي ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / الجذر التربيعي (1-جتا ^ 2X) = 2 / القيمة المطلقة (sinx) #

كيف تثبت (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)؟

من فضلك، انظر بالأسفل. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

يمكن للشخص مساعدة التحقق من هذه الهوية حساب المثلثات؟ (Sinx + cosx) ^ 2 / الخطيئة ^ 2X-جتا ^ 2X = الخطيئة ^ 2X-جتا ^ 2X / (sinx-cosx) ^ 2

تم التحقق منه أدناه: (sinx + cosx) ^ 2 / (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => (إلغاء ((sinx + cosx) ) (sinx + cosx)) / (Cancel ((sinx + cosx)) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => ((sinx + cosx) ( sinx-cosx)) / ((sinx-cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => اللون (الأخضر) ((sin ^ 2x-cos ^ 2X) / (sinx-cosx) ^ 2) = (الخطيئة ^ 2X-جتا ^ 2X) / (sinx-cosx) ^ 2

إثبات أن الرقم sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ليس عقلاني ا لأي عدد طبيعي n أكبر من 1؟

انظر الشرح ...لنفترض أن sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) عقلاني ، ثم يجب أن يكون المربع عقلاني ا ، أي: 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) وبالتالي هكذا : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) يمكننا تكرار ا طرح وتطرح للعثور على أن الأمور التالية يجب أن تكون منطقية: {(sqrt (n-1 + sqrt (n))) ، ( sqrt (n)):} وبالتالي n = k ^ 2 لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة k> 1 و: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) لاحظ أنه: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 وبالتالي ، فإن k ^ 2 + k-1 ليست مربع عدد صحيح سواء و sqrt (k ^ 2 + k-1 ) غير منطقي ، مما يتناقض مع تأكيدنا على أن sqrt (n-1 + sqrt (n)) عقلاني.