إثبات أن الرقم sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ليس عقلاني ا لأي عدد طبيعي n أكبر من 1؟

إجابة:

انظر الشرح …

تفسير:

افترض:

#sqrt (1 + الجذر التربيعي (2 + … + الجذر التربيعي (ن))) # هو عقلاني

ثم يجب أن يكون مربعه عقلاني ا ، أي:

# 1 + الجذر التربيعي (2 + … + الجذر التربيعي (ن)) #

وبالتالي هو كذلك:

#sqrt (2 + الجذر التربيعي (3 + … + الجذر التربيعي (ن))) #

يمكننا مرارا وتكرارا طرح وطرح لتجد أن ما يلي يجب أن يكون عقلاني:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))) ، (sqrt (n)):} #

بالتالي # ن = ك ^ 2 # لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة # ك> 1 # و:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

لاحظ أن:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

بالتالي # ك ^ 2 + ك 1 # ليس مربع عدد صحيح سواء و #sqrt (ك ^ 2 + ك-1) # غير عقلاني ، يتعارض مع تأكيدنا ذلك #sqrt (ن 1 + الجذر التربيعي (ن)) # هو عقلاني.

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

على افتراض

#sqrt (1 + الجذر التربيعي (2 + cdots + الجذر التربيعي (ن))) = ص / ف # مع # ف / ف # غير اختزال لدينا

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

وهو أمر سخيف ، لأنه وفق ا لهذه النتيجة ، فإن أي الجذر التربيعي لعدد صحيح موجب هو أمر منطقي.