إذا تم إسقاط حجر على ارتفاع 174.9 متر من طائرة هليكوبتر تصعد بسرعة 20.68 م / ث ، كم من الوقت يستغرق الحجر للوصول إلى الأرض؟

إجابة:

8.45 ثانية.

تفسير:

يعتمد اتجاه "g" عند الحديث عن التسارع على نظام الإحداثيات الذي نحدده. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد تحديد الاتجاه الهبوطي على أنه "ص" موجب ، فستكون g موجبة. الاتفاقية هي الصعود الإيجابي لذلك g ستكون سالبة. هذا هو ما يجب أن نستخدمه ، كما نأخذ الأرض #y = 0 #

#COLOR (أحمر) ("تحرير:") # لقد أضفت مقاربة باستخدام المعادلات الحركية التي تتعلمها مبكرا في الأسفل. كل ما قمت به هنا هو اشتقاق هذه باستخدام حساب التفاضل والتكامل ولكنني أقدر أنك قد لا تغطيها.انتقل لأسفل إلى العنوان الأحمر لنهج غير حساب التفاضل والتكامل.

يمكننا أن ننظر إلى هذا عن كثب من خلال البدء من الصفر بقانون نيوتن الثاني. عندما يتم إسقاط الحجر يكون له سرعة أولية ولكن القوة الوحيدة التي تعمل عليه ترجع إلى الجاذبية. لقد عر فنا صعود ا على أنه اتجاه y الإيجابي ، لذا يمكننا بموجب قانون نيوتن الثاني الكتابة

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

وذلك لأن الحجر سوف يتسارع نحو الأرض ، والتي عرفناها على أنها الاتجاه السلبي.

دمج هذا التعبير يعطي:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # هي سرعة الحجر ، لذلك عندما نطبق السرعة الأولية على #y '(0) = + 20.68 # وصلنا إلى

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20.68 - g t #

هذه النماذج السرعة ومعقولة إذا كنت تفكر في ذلك. عندما يتم إصدارها ، سيكون لها نفس سرعة الطائرة ، وبالتالي ستتحرك للأعلى لبعض الوقت ولكن مع تقدم الوقت ستتوقف ثم تبدأ في الانخفاض.

للعثور على النزوح ، ندمج مرة أخرى:

#y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

تطبيق الشرط الأولي #y (0) = 174.9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#therefore y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

لحل الوقت للوصول إلى الأرض ، تعيين # ص = 0 # وحل التربيعي:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20.68t - 174.9 = 0 #

هذه بالتأكيد مهمة للصيغة التربيعية:

#t = (20.68 + - مربع (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

مع الأخذ #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 أو -4.23 #

نحن نتجاهل الحل السلبي ، لذلك يستغرق الحجر 8.45 ثانية للوصول إلى الأرض.

#color (أحمر) ("لا يوجد نهج حساب التفاضل والتكامل") #

نحن نعرف ذلك #v = v_0 + at # أين #الخامس# هي السرعة النهائية ، # # v_0 هي السرعة الأولية ، #ا# هو التسارع و # ر # هو الوقت الذي تقدم فيه.

كما قلت سابقا ، مع نظام الإحداثيات التصاعدي # ز # سيكون سلبيا ولكن الحجر سوف يتحرك في البداية إلى الأعلى بسبب السرعة الأولية. نريد أن نجد النقطة التي يتوقف عندها عن الصعود:

جلس #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#terefore t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

الآن استخدام

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # مرة أخرى مع #a = -g #

وبالتالي #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20.68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21.8m #

هذا يعني أن الحجر يتوقف للحظات في #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196.7 مليون #

الآن ليس لدينا أي سرعات أولية مزعجة لمواجهتها ، فقط تقع على التوالي من هذا الارتفاع:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

نظر ا لأن الارتفاع صعودي ا ، فسيؤدي الهبوط إلى نزوح سلبي أيض ا

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # كما هو مطلوب.

إجابة:

8.45s

تفسير:

المروحية تصعد بسرعة # ش = 20.68m / ق # وبالتالي فإن الحجر الذي تم إسقاطه منه سيكون بنفس السرعة الأولية مثل السرعة التصاعدية للطائرة المروحية ولكن قوة الجاذبية الهبوطية ستوفر لها تسارع ا هبوطي ا (g).

النظر في نقطة إسقاط الحجر من طائرة هليكوبتر كأصل المضي قدما على النحو التالي

إذا إلى أعلى تؤخذ السرعة الأولية إيجابي ثم تسارع الهبوط (ز) ينبغي أن تؤخذ على النحو نفي و النزوح النزولي (ح) ينبغي أيضا النظر فيها نفي.

#color (red) ("هنا للأعلى + ve و لأسفل -ve") #

الآن حساب الوقت (ر) من الوصول إلى الأرض

اذا لدينا

# u = + 20.68 م / ث #

# ز = -9.8m / ث ^ 2 #

# ح = -174.9m #

#T =؟ #

إدراج هذه في معادلة الحركة تحت الجاذبية (بما في ذلك المتغيرات h و u و g و t) نحن نحصل

# ح = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => ر = (20.68 + الجذر التربيعي ((- 20.68) ^ 4/2 * 4.9 * (- 174.9))) / (2 * 4.9) #

#:. ر = 8.45s #

سيتم الحصول على المعادلة نفسها (1) إذا عكسنا الاتجاه#color (أحمر) ("على سبيل المثال - إلى الأعلى - ive و down + + ive.") #