ما هو الفاصل الزمني للتقارب بين sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n؟

إجابة:

# x في (-oo ، (1 sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2 ، oo) #

تفسير:

يمكننا أن نحصل على هذا #sum_ {ن = 0} ^ س س (1 / (س (1-س))) ^ ن # هي سلسلة هندسية مع نسبة # ص = 1 / (س (1-س)) #.

نعلم الآن أن السلسلة الهندسية تتقارب عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة أصغر من 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

لذلك يجب علينا حل هذا التفاوت:

# 1 / (x (1-x)) <1 و 1 / (x (1-x))> -1 #

لنبدأ بالأولى:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-س + س ^ 2) / (س (1-س)) <0 #

يمكننا أن نثبت بسهولة أن البسط دائم ا إيجابي ا ويكون المقام سالب ا في الفترة الفاصلة #x في (-oo ، 0) U (1 ، oo) #.

لذلك هذا هو الحل لعدم المساواة الأولى لدينا.

لنرى الثاني:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))>> 0 #

هذا حل عدم المساواة لديه الفاصل الزمني:

# x في (-oo ، (1 sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2 ، oo) #

لذلك تتقارب سلسلتنا حيث يكون هذا على فترات صحيحة.

وبالتالي لدينا الفاصل الزمني للتقارب هو:

# x في (-oo ، (1 sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2 ، oo) #