ما هو الفاصل الزمني للتقارب sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n؟ وما هو المجموع في س = 3؟
![ما هو الفاصل الزمني للتقارب sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n؟ وما هو المجموع في س = 3؟](https://img.go-homework.com/calculus/what-is-the-interval-of-convergence-of-sum_n0oolog_2/fracx1x-2n-and-whats-the-sum-in-x3.jpg "ما هو الفاصل الزمني للتقارب sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n؟ وما هو المجموع في س = 3؟")
] -oo ، -4 ["U"] 5 ، oo ["هو الفاصل الزمني للتقارب لـ x" "x = 3 ليس في الفاصل الزمني للتقارب ، لذا فإن sum for x = 3 هو" oo "عامل المجموع كما تكون سلسلة هندسية عن طريق استبدال "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "ثم لدينا" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "لـ" | z | <1 "إذا الفاصل الزمني للتقارب هو" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 سلبية)" "الحالة الإيجابية:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <
ما هو الفاصل الزمني للتقارب بين sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n؟
X in (-oo ، (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2 ، oo) يمكننا أن نأخذ ذلك sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n عبارة عن سلسلة هندسية ذات نسبة r = 1 / (x (1-x)). نعلم الآن أن السلسلة الهندسية تتلاقى عندما تكون القيمة المطلقة للنسبة أصغر من 1: | r | <1 iff-1 <r <1 لذلك يجب علينا حل هذا التباين: 1 / (x (1-x)) <1 و 1 / (x (1-x))> -1 لنبدأ بالأولى: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 يمكننا أن نثبت بسهولة أن البسط دائم ا موجب وأن المقام مقيم في الفاصل الزمني x في (-oo ، 0) U (1 ، oo). لذلك هذا هو الحل لعدم المساواة الأولى لدينا. لنرى الثاني: 1 / (
؟ أعد التعبير عما يلي في "تدوين الفاصل الزمني" ، أي x <1 < 1 <x <1. ارسم الفاصل الزمني على سطر الأرقام:
2 <x <4 اتبع المثال الذي كتبته في السؤال: إذا كان | x | <1 يعني -1 <x <1 ، إذن ، بنفس المنطق | x-3 | <1 يعني -1 <x-3 < 1 يمكننا تبسيط التعبير بإضافة ثلاثة في كل مكان: -1 + 3 <x-3 + 3 <1 + 3 وبالتالي 2 <x <4