كيف تجد مشتق تان (س - ص) = س؟

كيف تجد مشتق تان (س - ص) = س؟
Anonim

إجابة:

# (دى) / (DX) = س ^ 2 / (1 + س ^ 2) #

تفسير:

أنا أفترض أنك تريد أن تجد # (دى) / (DX) #. لهذا نحتاج أولا إلى تعبير لـ # ذ # من ناحية # # س. نلاحظ أن هذه المشكلة لها حلول مختلفة ، منذ ذلك الحين #tan (خ) # هي وظائف دورية ، #tan (س-ص) = س # سوف يكون لها حلول متعددة. ومع ذلك ، لأننا نعرف فترة وظيفة الظل (# بي #) ، يمكننا القيام بما يلي: # X-Y = تان ^ (- 1) س + لا تستهدف الربح #، أين #tan ^ (- 1) # هي وظيفة معكوسة للقيم إعطاء الظل بين # -pi / 2 # و # بي / 2 # والعامل # لا تستهدف الربح # تمت إضافة إلى حساب دورية المماس.

هذا يعطينا # ص = س تان ^ (- 1) س NPI #، وبالتالي # (دى) / (DX) = 1-د / (DX) تان ^ (- 1) س #، لاحظ أن العامل # لا تستهدف الربح # قد اختفى. الآن نحن بحاجة إلى العثور عليها # د / (DX) تان ^ (- 1) س #. هذا صعب للغاية ، لكن يمكن تنفيذه باستخدام نظرية الوظيفة العكسية.

ضبط # ش = تان ^ (- 1) س #، نحن لدينا # س = = TANU سينو / cosu #، وبالتالي # (DX) / (دو) = (جتا ^ 2U + الخطيئة ^ 2U) / كوس ^ 2U = 1 / جتا ^ 2U #، باستخدام قاعدة حاصل وبعض الهويات المثلثية. باستخدام نظرية دالة معكوس (التي تنص على أنه إذا # (DX) / (دو) # مستمر وغير صفري ، لدينا # (دو) / (DX) = 1 / ((DX) / (دو)) #)، نحن لدينا # (دو) / (DX) = جتا ^ 2U #. الآن نحن بحاجة إلى التعبير # كوس ^ 2U # من حيث س.

للقيام بذلك ، نستخدم بعض علم المثلثات. إعطاء المثلث الأيمن مع الجانبين # أ، ب، ج # أين # ج # هو الوتر و # أ، ب # متصلا الزاوية اليمنى. إذا # ش # هي الزاوية حيث الجانب # ج # يتقاطع الجانب #ا#، نحن لدينا # س = TANU = ب / أ #. مع الرموز # أ، ب، ج # في المعادلات نشير إلى طول هذه الحواف. # cosu = / ج # وباستخدام نظرية فيثاغورس ، نجد # ج = الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2) = asqrt (1+ (ب / أ) ^ 2) = asqrt (1 + س ^ 2) #. هذا يعطي # cosu = 1 / الجذر التربيعي (1 + س ^ 2) #، وبالتالي # (دو) / (DX) = 1 / (1 + س ^ 2) #.

منذ # ش = تان ^ (- 1) س #، يمكننا استبدال هذا في معادلة لدينا ل # (دى) / (DX) # ويجد # (دى) / (DX) = 1-1 / (1 + س ^ 2) = س ^ 2 / (1 + س ^ 2) #.