ما هي قيم r (مع r> 0) التي تتقارب فيها السلسلة؟

إجابة:

# R <1 / ه # هو الشرط لتقارب #sum_ (ن = 1) ^ ^ OOR قانون الجنسية (ن) #

تفسير:

سأجيب فقط عن جزء التقارب ، الجزء الأول بعد الإجابة عليه في التعليقات. يمكننا ان نستخدم # ص ^ قانون الجنسية (ن) = ن ^ قانون الجنسية (ص) # لإعادة كتابة المبلغ #sum_ (ن = 1) ^ ^ OOR قانون الجنسية (ن) # في التشكيل

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p ، qquad mbox {for} p = -ln (r) #

السلسلة على اليمين هي شكل سلسلة لوظيفة Riemann Zeta الشهيرة. ومن المعروف أن هذه السلسلة تتقارب عندما #P> 1 #. باستخدام هذه النتيجة يعطي مباشرة

# -ln (r)> 1 تعني ln (r) <- 1 تعني r <e ^ -1 = 1 / e #

النتيجة المتعلقة بوظائف Riemann Zeta معروفة جد ا ، إذا كنت تريد أساسها الإجابة ، يمكنك تجربة الاختبار المتكامل للتقارب.