ابحث عن قيم x التي تتقارب فيها السلسلة التالية؟

إجابة:

#1<>

تفسير:

عند محاولة تحديد نصف القطر و / أو فاصل تقارب سلسلة الطاقة مثل هذه ، من الأفضل استخدام Ratio Test ، الذي يخبرنا بسلسلة # # suma_n، نحن نسمح

# L = lim_ (ن-> س س) | A_ (ن + 1) / a_n | #.

إذا #L <1 # السلسلة متقاربة تمام ا (وبالتالي متقاربة)

إذا #L> 1 #المسلسل ينحرف.

إذا # L = 1، # اختبار نسبة غير حاسمة.

بالنسبة لـ Power Series ، هناك ثلاث حالات ممكنة

ا. سلسلة السلطة تتلاقى لجميع الأعداد الحقيقية ؛ الفاصل الزمني للتقارب هو # (- oo، oo) #

ب. تتلاقى سلسلة الطاقة لبعض الأرقام # س = أ. # نصف قطر التقارب هو صفر.

ج. القضية الأكثر شيوعا ، سلسلة السلطة تتلاقى ل # | س واحد |<> مع الفاصل الزمني للتقارب # ل-R

# | 2X-3 | lim_ (ن-> س س) 1 = | 2X-3 | #

حتى إذا # | 2X-3 | <1 #، سلسلة تتلاقى. لكننا نحتاج هذا في النموذج # | س واحد |<>

# | 2 (س 3/2) | <1 #

# 2 | س 3/2 | <1 #

# | س 3/2 | <1/2 # النتائج في التقارب. نصف قطر التقارب هو # R = 1 / 2. #

الآن ، دعونا نحدد الفاصل الزمني:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

نحن بحاجة إلى سد العجز # x = 1 ، x = 2 # في السلسلة الأصلية لمعرفة ما إذا كان لدينا تقارب أو اختلاف في هذه النقاط النهائية.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # يتخلل ، لا يوجد حد للحد الأقصى للطلب ، وبالتأكيد لا يذهب إلى الصفر ، إنه يبدل الإشارات فقط.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # يحيد أيضا عن طريق اختبار الاختلاف ، #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

لذلك ، سلسلة تتلاقى ل #1<>

يمكننا استخدام اختبار النسبة الذي يقول أنه إذا كان لدينا سلسلة

#sum_ (ن = 0) ^ ooa_n #

إنه بالتأكيد متقارب إذا:

#lim_ (ن-> س س) | A_ (ن + 1) / a_n | <1 #

في حالتنا هذه، # a_n = (2X 3) ^ ن #، لذلك نتحقق من الحد:

#lim_ (ن-> س س) | (2X 3) ^ (ن + 1) / (2X 3) ^ ن | = lim_ (ن-> س س) | ((2X 3) إلغاء ((2X-3) ^ ن)) / إلغاء ((2X 3) ^ ن) | = #

# = lim_ (ن-> س س) | 2X-3 | = 2X 3 #

لذلك ، نحن بحاجة إلى التحقق من متى # | 2X-3 | # اقل من #1#:

لقد ارتكبت خطأ هنا ، لكن الإجابة أعلاه لها نفس الطريقة والإجابة الصحيحة ، لذلك ألق نظرة على ذلك بدلا من ذلك.