حل المعادلة التالية: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)؟

إجابة:

# س = -sqrt11، -sqrt19 / 3، sqrt19 / 3، sqrt11 #

يقدم هذا التفسير طريقة متعمقة لتحديد الخطوات لإيجاد العوامل المحتملة لإعادة كتابة معادلة من النوع التربيعي بحيث تكون قابلة للحل بدون المعادلة التربيعية و / أو الحاسبة.

تفسير:

أول مربع على الطرف الأيسر للمعادلة.

# (س ^ 2-2) / 3 + (س ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (س ^ 2-2) #

توسيع المربعة ذات الحدين. أذكر ذلك # (س ^ 2-1) ^ 2 = (س ^ 2-1) (س ^ 2-1) #.

# (س ^ 2-2) / 3 + (س ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (س ^ 2-2) #

يمكننا إزالة الكسور بضرب المعادلة بمقام قاسم المشترك الأدنى #3,25,# و #9,# الذي #225#.

لاحظ أن #225=3^2*5^2#، وبالتالي #225/3=75#, #225/25=9#و #225/9=25#.

ضرب من خلال #225# يعطي:

# 75 (س ^ 2-2) +9 (س ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (س ^ 2-2) #

توزيع كل ثابت المضاعف.

# 75x ^ 2-150 + 9X ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

انقل كل المصطلحات إلى جانب واحد وأعد ترتيب المعادلة.

# 9X ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

هذا لديه القدرة على أن يكون عامل: عدم وجود # س ^ 3 # و # # س المصطلحات تعني أن هذا قد يكون في الحسبان في النموذج # (س ^ 2 + أ) (س ^ 2 + ب) #.

لاختبار العوامل ، لاحظ أننا يجب أن نجد زوج ا من الأعداد الصحيحة التي يكون منتجها هو المعامل الأول والأخير ، وهو # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. نفس الاعداد الصحيحه التي هو المنتج #3^2*11*19# يجب أن يكون لها مجموع #-118#.

نظر ا لأن المنتج إيجابي والمجموع سلبي ، فنحن نعرف أن كلتا الأعداد الصحيحة ستكون إيجابية.

الحيلة الآن هي العثور على مزيج من الأرقام التي تأتي من #3^2*11*19# الذي المبلغ هو #118#. (إذا وجدنا النسخة الإيجابية ، فيمكننا تحويل كلا الرقمين إلى شكلهما السلبي بسهولة.)

يجب أن نحاول التوصل إلى مجموعات من العوامل من #3^2*11*19# هذا لا يتجاوز #118#.

يمكننا القضاء على إمكانية استباقية #3^2*19# و #11*19# يحدث كواحد من الأعداد الصحيحة لدينا ، لأن كلاهما أكبر من #118#. وبالتالي ، إذا ركزنا على #19# نظر ا لأنه العامل الأكبر ، فإننا نعرف أنه سيكون موجود ا أيض ا #19# أو #3*19#.

لذلك ، لدينا خياران فقط للأعداد الصحيحة هي:

# {:(bb "Integer 1"، ""، bb "Integer 2"، ""، bb "Sum")، (19، ""، 3 ^ 2 * 11 = 99، ""، 118)، (19 * 3 = 57 ، "" ، 3 * 11 = 33 ، "" ، 90):} #

وبالتالي لدينا زوج من الأرقام التي منتجها #3^2*11*19# والمبلغ هو #118# هو #19# و #99#.

من هذا يمكننا أن نكتب الرباعية على النحو التالي:

# 9X ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9X ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

عامل عن طريق التجميع:

# 9X ^ 2 (س ^ 2-11) -19 (س ^ 2-11) = (9X ^ 2-19) (س ^ 2-11) = 0 #

قسم هذا إلى معادلتين:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

إجابة:

المعادلات مع الكسور تبدو دائما أسوأ مما هي عليه. طالما أن لديك معادلة وليس تعبير ا ، يمكنك التخلص من القواسم عن طريق ضرب LCM من القواسم.

تفسير:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

دعنا نبدأ بتربيع المقام في الفصل الثاني.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

الآن اضرب كل فصل في 225 لإلغاء القواسم.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / Cancel3 + Cancel (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / Cancel25 = Cancel (225) ^ 25xx7 / delete9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

من الواضح أن هذا من الدرجة الثانية ، لذا اجعله يساوي 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

لاحظ أن المصطلحين الأول والثالث يشبهان المصطلحات ، حتى نتمكن من إضافتهما مع ا. أيضا مربع المدى المتوسط.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

أزل الأقواس بموجب قانون التوزيع:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

تبسيط: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

استكشاف عوامل 9 و 209 يؤدي إلى

9 = 3 × 3 أو 9 × 1 و 209 = 11 × 19

مجموعة العوامل التي تضيف 118 هي 99 + 19

العوملة يعطي # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

إذا # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

إذا # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #