دخل الفرد أعلى بـ160 ضعف ا في الولايات المتحدة منه في الكونغو. ينمو الفرد في المتوسط بمعدل 3 ٪ سنويا في الولايات المتحدة و 6 ٪ سنويا في الكونغو. كم سنة ستستغرق قبل أن يتجاوز نصيب الفرد في الكونغو نظيره في الولايات المتحدة؟

إجابة:

# ن = السجل (160) / السجل (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # سنوات

تفسير:

لنفترض أن الكونغو لديها نصيب الفرد من الدخل #$1#، في حين أن الولايات المتحدة لديها #160# مرات أكبر من #$160# (لتبسيط الحساب ، فإن أي قيم أخرى تفعل أيضا).

دخل الفرد في الكونغو ينمو #6%# كل سنة. وبالتالي ، في العام المقبل سيكون #$1*1.06=$1.06#، والعام الذي بعد ذلك سيكون #$1*1.06*1.06=$1*1.06^2#. بعد # ن # سنوات ، فإن نصيب الفرد من الدخل سيرتفع إلى # $ 1 * 1.06 ^ ن #.

وبالمثل ، فإن نصيب الفرد من الدخل في الولايات المتحدة سيرتفع إلى # $ 160 * 1.03 ^ ن # بعد # ن # سنوات.

سوف يتجاوز دخل الفرد في الكونغو دخل الولايات المتحدة عندما

# 1.06 ^ ن = 160 * 1.03 ^ ن #

# 160 = 1.06 ^ ن / 1.03 ^ ن = (1.06 / 1.03) ^ ن #

خذ لوغاريتم كلا الجانبين:

#log (160) = السجل ((1.06 / 1.03) ^ ن) = nlog (1.06 / 1.03) #

حيث نستخدم حقيقة ذلك #log (أ ^ ب) = بلوق (أ) # على جهة اليد اليمنى.

وهكذا،

# ن = السجل (160) / السجل (1.06 / 1.03) ~~ 176.77 # سنوات.