الرجاء مساعدتي في هذا ، كيف نفعل ذلك؟

إجابة:

# ك = 3 #

تفسير:

باستخدام خصائص الأس # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # و # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #، نحن لدينا

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

وهكذا #13!# هو قابل للقسمة من قبل # 24 ^ ك # إذا وفقط إذا #13!# هو قابل للقسمة من قبل # 2 ^ (3K) # وقابل للقسمة # 3 ^ ك #.

يمكننا أن نقول أعظم قوة #2# من خلالها #13!# قابل للقسمة إذا نظرنا إلى عوامله قابلة للقسمة عليها #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

كما لا أحد من العوامل الفردية تسهم أي عوامل #2#، نحن لدينا

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * م #

أين # م # هو عدد صحيح لا يقبل القسمة #2#. على هذا النحو ، نحن نعرف ذلك #13!# هو قابل للقسمة من قبل # 2 ^ (3K) # إذا وفقط إذا #2^10# هو قابل للقسمة من قبل # 2 ^ (3K) #، المعنى # 3k <= 10 #. مثل #ك# هو عدد صحيح ، وهذا يعني # ك <= 3 #.

بعد ذلك ، يمكننا أن ننظر في أي عوامل #13!# قابلة للقسمة من قبل #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

كما لا توجد عوامل أخرى لل #13!# المساهمة في أي عوامل #3#، هذا يعنى

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

أين # ن # هو عدد صحيح لا يقبل القسمة #3#. على هذا النحو ، نحن نعرف ذلك #3^5# هو قابل للقسمة من قبل # 3 ^ ك #، المعنى # ك <= 5 #.

أكبر عدد صحيح غير سالب تلبية القيود #K <= 3 # و #K <= 5 # هو #3#، يعطينا جوابنا من # ك = 3 #.

آلة حاسبة سوف تحقق ذلك #(13!)/24^3 = 450450#، بينما #(13!)/24^4=18768.75#