Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x هل يمكن أن تحل هذا؟

إجابة:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

تفسير:

نحن لدينا:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

سمح #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

نحن نرى ذلك #u = -1 # هو عامل. باستخدام تقسيم الاصطناعية نحصل عليها

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

المعادلة # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # يمكن حلها باستخدام الصيغة التربيعية.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 أو -0.309 #

منذ #cosx = u #، نحن نحصل #x = pi / 5 ، (3pi) / 5 # و # بي #.

أين # ن # هو عدد صحيح.

الرسم البياني لل # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # و # y_2 = cos (3x) # تؤكد أن الحلول هي نقاط التقاطع.

نأمل أن هذا يساعد!

إجابة:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

تفسير:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #أو

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

دائرة الوحدة ، وخاصية cos ، تعطي ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

ا. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

إذا ك = 0 -> #x = pi #

ب. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

إذا ك = 1 -> #x = pi / 5 #.

إذا ك = 0 -> #x = - pi / 5 #أو #x = (9pi) / 5 # (شارك في محطة)

إذا ك = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

في الفترة الفاصلة المغلقة 0 ، 2pi ، الإجابات هي:

# 0 ، (pi) / 5 ، (3pi) / 5 ، pi ، (9pi) / 5 #

تحقق من آلة حاسبة.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. اثبت

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. اثبت

إجابة:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 ، (2n + 1) pi # # # nrarrZ

تفسير:

# rarrsin ^ 4X-جتا ^ 4X = cos3x #

#rarr (الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X) (الخطيئة ^ 2X-جتا ^ 2X) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3X + 2X) / 2)) * جتا ((3X-2X) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5X) / 2) * جتا (س / 2) = 0 #

إما #cos ((5X) / 2) = 0 #

#rarr (5X) / 2 = (2N + 1) بي / 2 #

# rarrx = (2N + 1) بي / 5 # # # nrarrZ

#rarrcos (س / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2N + 1) بي / 2 #

# rarrx = (2N + 1) بي # # # nrarr

إجابة:

الحل العام لا يتطلب صيغة الزاوية الثلاثية وهو

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # أو # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

لالعدد الصحيح #ك#.

تفسير:

لا أحب قراءة إجابات الآخرين قبل أن أحل سؤالا بنفسي. لكن ظهرت إجابة مميزة لهذا واحد. خلال نظريتي السريعة ، لم أكن ألاحظ أن الأمر يبدو معقد ا للغاية بالنسبة إلى ما يبدو لي أنه سؤال سهل نسبي ا. أنا سوف إعطائها بالرصاص.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

لقد كنت على سقراط لمدة أسبوعين ، وهذا يظهر كموضوع لي: الحل العام ل #cos x = cos a # هو #x = pm a + 360 ^ circ k quad # لالعدد الصحيح #ك.#

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

نحن نأخذ العلامات بشكل منفصل. زائد أولا:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

ناقص المقبل.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

إذا قرأت هذه عن كثب ، فقد تعتقد أنني أخطئ في الطريقة التي أتعامل بها #ك#. لكن منذ #ك# يتراوح على جميع الأعداد الصحيحة ، مثل البدائل # ك إلى ك # و # ك إلى ك + 1 # مسموح وأنزلق من هم في الحفاظ على العلامات #+# عندما يمكن أن يكون.

التحقق من:

دعونا اختيار زوجين للتحقق. أنا العبقري غريب الأطوار بما فيه الكفاية لمعرفة #cos 36 ^ circ # هو نصف النسبة الذهبية ، لكنني لن أعمل على حلها بدقة ، ما عليك سوى الضغط على Wolfram Alpha للتأكد.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #