تقييم التكامل غير المحدد: sqrt (10x x ^ 2) dx؟

إجابة:

# 20 / 3X ^ (3/2) -1 / 2X ^ 2 + ج #

تفسير:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

اكمل المربع،

#int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

استبدل # ش = س 5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

استبدل # ش = 5sin (ت) # و # دو = 5cos (ت) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

تبسيط،

#int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

صقل،

#int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

اخراج الثابت ،

# 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

تطبيق الصيغ زاوية مزدوجة ،

# 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

اخراج الثابت ،

# 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

دمج،

# 25/2 (ت + 1 / 2sin (2V)) "+ ج #

بديلا الظهر # ت = جيب الزاوية القوسي (ش / 5) # و # ش = س 5 #

# 25/2 (جيب الزاوية القوسي ((X-5) / 5) + إلغاء (1 / 2sin) (إلغاء (2arcsin) ((س 5) / 5))) "+ ج #

تبسيط،

# 25/2 (جيب الزاوية القوسي ((X-5) / 5)) + 25/2 ((X-5) / 5) + ج #

صقل،

# 25 / 2arcsin ((خ-5) / 5) +5/2 (س 5) + ج #، أين # ج # هو ثابت التكامل.

تادا: د

إجابة:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

تفسير:

ما هو #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

لاحظ أن مجال الوظيفة التي يتم دمجها هو المكان الذي يكون فيه التربيعي الداخلي موجب ا ، أي # x في 0 ، 10 #

يمكن دمج هذا التعبير باستخدام البدائل. على الرغم من أن المسار المحتمل للتكامل لا يقدم نفسه على الفور ، إذا تنافسنا في الميدان ، فيمكن إجراء استبدال مثلثي:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

التي ، كما نلاحظ ، تكون في نموذج الاستعاضة المثلثي الكلاسيكي ، أي مربع العدد ناقص مربع خطي # # س وظيفة.

أولا ، للتخلص من الخطي ، تركنا #u = x-5 #، الذي يعطي # دو = DX #، حتى نتمكن من إعادة كتابة ما ورد أعلاه على النحو التالي:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

الآن للاستبدال الثاني ، دعونا #u = 5sintheta #، والذي يغير جزءا لا يتجزأ من:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5 خرائط) dx # (يمكننا تجاهل أقواس القيمة المطلقة)

بالطبع ، فإن # DX # لا يساعد ، لذلك نحن نفرق معادلة الاستبدال للحصول على: #du = 5 costheta d theta #، وبالتالي يصبح التكامل:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

الآن يمكننا استخدام صيغة الزاوية المزدوجة لجعل التكامل # cos ^ 2 theta # أسهل:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

لذلك يصبح التكامل:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة)

الآن، #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

بالتالي، #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

و، #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #