ما المحاولات التي بذلت عندما حاول الناس إثبات تخمين كولز؟

إجابة:

بعض الأفكار …

تفسير:

قال عالم الرياضيات البولندي العظيم بول إردوس عن تخمين كولاتز أن "الرياضيات قد لا تكون جاهزة لمثل هذه المشكلات". قدم جائزة بقيمة 500 دولار عن حل.

يبدو مستحيلا اليوم كما قال عندما قال ذلك.

من الممكن التعبير عن مشكلة Collatz بعدة طرق مختلفة ، لكن لا توجد طريقة حقيقية لمحاولة حلها. عندما كنت في الجامعة منذ ما يقرب من 40 عام ا ، كانت الفكرة الوحيدة التي بدا أن الناس ينظرون إليها هي استخدام الحساب 2-adic.

فكرت في محاولة معالجته باستخدام نوع من النهج النظري للقياس ، ولكن من الأفضل أن أفضل ما يمكن فعله هو إظهار أن مجموعة الأرقام التي لم تصل إلى النتيجة #1# هو من التدبير #0#. لن يستبعد وجود أمثلة مضادة.

تم فحص التخمين Collatz بواسطة الكمبيوتر عن أرقام تصل إلى حوالي #10^20#، لكن هذا يدل فقط على أنه أمر معقول - لا يثبت أنه صحيح بالنسبة لجميع الأرقام.

لفهم سبب صعوبة حل العمليات التكرارية مثل تلك التي تحدث في تخمين Collatz بشكل عام ، فقد يساعد ذلك في معرفة مدى ثراء الجمع بين الضرب والإضافة على الأعداد الطبيعية.

على سبيل المثال ، إذا قمت بتعريف أي نظام رياضي رسمي به عدد محدد من الرموز والعمليات المسموح بها ، فسيكون الحساب الأساسي كافي ا لتدوينه. عندها يصبح من الممكن بناء بيان جبري والذي فسره يقول بفعالية "أنا غير قابل للإثبات في هذا النظام الرسمي". مثل هذا البيان صحيح بعد ذلك ولكنه غير قابل للإثبات. وبالتالي فإن النظام الرسمي غير مكتمل.

هذا هو جوهر إثبات نظرية غودل الثانية غير المكتملة.