ما هي extrema المحلية f (x) = xlnx-xe ^ x؟

إجابة:

هذه الوظيفة لا يوجد بها extrema المحلية.

تفسير:

#f (x) = xlnx-xe ^ x تعني #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

إلى عن على # # س أن تكون الطرف المحلي ، #G (خ) # يجب أن يكون الصفر. سنظهر الآن أن هذا لا يحدث لأي قيمة حقيقية لـ # # س.

لاحظ أن

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x ، qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

وهكذا #G ^ (س) # سوف تختفي إذا

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

هذه معادلة متعالية يمكن حلها عددي ا. منذ #g ^ '(0) = + oo # و #G ^ '(1) = 1-3e <0 #يكمن الجذر بين 0 و 1. ومنذ ذلك الحين #g ^ {''} (0) <0 # للجميع إيجابية # # س، هذا هو الجذر الوحيد ويتوافق مع الحد الأقصى ل #G (خ) #

من السهل جدا حل المعادلة عددي ا ، وهذا يدل على ذلك #G (خ) # لديه أقصى في # س = 0.3152 # والقيمة القصوى هي #g (0.3152) = -1.957 #. منذ الحد الأقصى لقيمة #G (خ) # هو سلبي ، لا توجد قيمة # # س الذي #G (خ) # تختفي.

قد يكون من المفيد أن ننظر إلى هذا بيانيا:

الرسم البياني {س تسجيل (خ) -x e ^ x -0.105، 1، -1.175، 0.075}

كما ترون من الرسم البياني أعلاه ، وظيفة # F (خ) # في الواقع كحد أقصى في # س = 0 # - ولكن هذا ليس الحد الأقصى المحلي. الرسم البياني أدناه يوضح ذلك #g (x) equiv f ^ '(x) # لا تأخذ القيمة صفر ا أبد ا.

الرسم البياني {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105، 1، -3، 0.075}