ما هي الحدود القصوى والصغرى المحلية لـ f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2؟

إجابة:

# F (س) = س ^ 2 / {(س 2) ^ 2 #

هذه الوظيفة لها خط مقارب عمودي في # س = 2 #، اقتراب #1# من فوق كما يذهب x ل # + oo # (الخط المقارب الأفقي) والمناهج #1# من الأسفل حيث يذهب x إلى # -و #. جميع المشتقات غير محددة في # س = 2 # كذلك. هناك حد أدنى محلي واحد في # س = 0 #, # ص = 0 # (كل هذا المتاعب للأصل!)

لاحظ أنك قد ترغب في التحقق من رياضياتي ، حتى الأفضل منا إسقاط علامة سلبية غريبة وهذا سؤال طويل.

تفسير:

# F (س) = س ^ 2 / {(س 2) ^ 2 #

هذه الوظيفة لها خط مقارب عمودي في # س = 2 #لأن القاسم صفري عند # س = 2 #.

يقترب #1# من فوق كما يذهب x ل # + oo # (الخط المقارب الأفقي) والمناهج #1# من الأسفل حيث يذهب x إلى # -و #، لأنه لقيم كبيرة # س ^ 2 ~ = (س 2) ^ 2 # مع # س ^ 2> (س 2) ^ 2 # إلى عن على # ضعف> 0 # و # س ^ 2 <(س 2) ^ 2 # إلى عن على # ضعف <0 #.

للعثور على الحد الأقصى / دقيقة ، نحتاج إلى المشتقات الأولى والثانية.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # استخدام قاعدة حاصل

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

باستخدام القاعدة للسلطات وقاعدة السلسلة التي نحصل عليها:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

نحن الآن أنيق قليلا …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

الآن المشتق الثاني ، مثل الأول.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (س 2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (س 2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (س 2) ^ 8 #

إنه أمر قبيح ولكننا نحتاج فقط للتوصيل ولاحظ مكان تصرفه بشكل سيء.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # هذه الوظيفة غير محددة في # س = 2 #، هذا التقارب ، ولكن يبدو جيدا في كل مكان آخر.

نريد أن نعرف كانت الحد الأقصى / دقيقة …

وضعنا # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # هذا هو الصفر عندما يكون البسط صفرا وإذا كان المقام غير صحيح.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # أو # 4X (2-س) = 0 # هذا هو صفر في # س = 0 # و # س = 2 #، ولكن لا يمكننا الحصول على الحد الأقصى / دقيقة إذا كانت الدالة المشتقة / غير محددة ، وبالتالي فإن الاحتمال الوحيد هو # س = 0 #.

"الاختبار المشتق الثاني"

الآن نحن ننظر إلى المشتق الثاني ، القبيح كما هو …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / / (خ-2) ^ 8 #

مثل الوظيفة والمشتق الأول هذا غير محدد في # س = 2 #، ولكن تبدو جيدة في كل مكان آخر.

نحن المكونات # س = 0 # إلى # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #، ليس صفر هذا الرقم جميل لتوصيله؟

#=128/256# كل هذا ل #1/2#

#1/2 >0# وبالتالي # س = 0 # هو الحد الأدنى المحلي.

للعثور على قيمة y ، نحتاج إلى توصيلها بالوظيفة.

# F (س) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # الأصل!