كيف يمكنك دمج f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) باستخدام الكسور الجزئية؟

إجابة:

# 35 / 51ln | X-7 | -6 / 11ln | X-3 | -1/561 (79 / 2LN (س ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

تفسير:

نظر ا لأن المقام مقام بالفعل ، فإن كل ما نحتاج إليه للقيام بكسور جزئية هو حل للثوابت:

# (3X ^ 2-س) / ((س ^ 2 + 2) (س 3) (خ-7)) = (فأس + B) / (س ^ 2 + 2) + C / (س 3) + D / (س 7) #

لاحظ أننا بحاجة إلى كل من # # س ومصطلح ثابت على أقصى اليسار لأن البسط يكون دائم ا أقل من درجة واحدة من المقام.

يمكن أن نتضاعف بواسطة قاسم الجانب الأيسر ، لكن ذلك سيكون قدرا هائلا من العمل ، لذلك يمكننا أن نكون أذكياء ونستخدم طريقة التغطية.

لن أتجاوز هذه العملية بالتفصيل ، لكن ما نقوم به هو معرفة ما يجعل المقام يساوي الصفر (في حالة # C # أنه # س = 3 #) ، وتوصيله في الجانب الأيسر وتقييم أثناء التستر على العامل المقابل للثابت يعطي هذا:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (نص (////)) (3-7)) = - 6/11 #

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه ل #د#:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (نص (////))) = 35/51 #

طريقة التغطية لا تعمل إلا مع العوامل الخطية ، لذلك نحن مضطرون لحلها من أجل #ا# و #ب# باستخدام الطريقة التقليدية والتكاثر من خلال قاسم الجانب الأيسر:

# 3X ^ 2-س = (فأس + B) (س 3) (خ-7) -6/11 (س ^ 2 + 2) (س 7) +35/51 (س ^ 2 + 2) (س 3) #

إذا ضاعفنا كل الأقواس وسنساوي جميع معاملات مختلف الأطراف # # س وشروط ثابتة ، يمكننا معرفة قيم #ا# و #ب#. إنه حساب مطول إلى حد ما ، لذلك سأترك رابط ا لكل من يهمه الأمر:

انقر هنا

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

وهذا يعطي أن لا يتجزأ لدينا هو:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

يمكن حل الأولين باستخدام بدائل u بسيطة نوعا ما للقواسم:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

يمكننا تقسيم الباقي متكاملة إلى قسمين:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

سأدعو اليسار واحد متكامل 1 والحق واحد متكامل 2.

لا يتجزأ 1

يمكننا حل هذا لا يتجزأ عن طريق استبدال u # ش = س ^ 2 + 2 #. المشتق هو # # 2X، لذلك نحن نقسم # # 2X للتكامل فيما يتعلق # ش #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int Cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2LN | س ^ 2 + 2 | + C #

لا يتجزأ 2

نريد الحصول على هذا جزء لا يتجزأ من النموذج ل # تان ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

إذا قدمنا استبدال مع # س = sqrt2u #، سنكون قادرين على تحويل لا يتجزأ لدينا في هذا النموذج. للتكامل فيما يتعلق # ش #، علينا أن نضرب ب # # sqrt2 (منذ أخذنا المشتق فيما يتعلق # ش # بدلا من # # س):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (ش) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (س / sqrt2) + C #

استكمال لا يتجزأ الأصلي

الآن بعد أن أصبحنا نعلم ما هو Integral 1 و Integral 2 يساويان ، يمكننا إكمال المكمل الأصلي للحصول على جوابنا النهائي:

# 35 / 51ln | X-7 | -6 / 11ln | X-3 | -1/561 (79 / 2LN (س ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #