كيف يمكنك دمج int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) باستخدام الكسور الجزئية؟

إجابة:

# 2LN | 2X-1 | -2ln | س | + 1 / س + C #

تفسير:

نحن بحاجة إلى إيجاد # A، B، C # مثل ذلك

# 1 / (س ^ 2 (2X-1)) = A / س + B / س ^ 2 + C / (2X-1) #

للجميع # # س.

اضرب كلا الجانبين ب # س ^ 2 (2X-1) # للحصول على

# 1 = فأس (2X-1) + B (2X-1) + معادل ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2Ax + 2BX-B + معادل ^ 2 #

# 1 = (2A + C) س ^ 2 + (2B-A) ×-B #

معادلة المعاملات تعطينا

# {(2A + C = 0)، (2B-A = 0)، (- B = 1):} #

وبالتالي لدينا # A = -2، B = -1، C = 4 #. استبدال هذا في المعادلة الأولية ، نحصل عليها

# 1 / (س ^ 2 (2X-1)) = 4 / (2X-1) -2 / س 1 / س ^ 2 #

الآن ، دمجها مصطلح ا تلو الآخر

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

للحصول على

# 2LN | 2X-1 | -2ln | س | + 1 / س + C #

إجابة:

الجواب هو # = 1 / س 2LN (| س |) + 2LN (| 2X-1 |) + C #

تفسير:

أداء التحلل إلى كسور جزئية

# 1 / (س ^ 2 (2X-1)) = A / س ^ 2 + B / س + C / (2X-1) #

# = (A (2X-1) + عاشرا (2X-1) + C (س ^ 2)) / (س ^ 2 (2X-1)) #

القواسم هي نفسها ، قارن البسط

# 1 = A (2X-1) + عاشرا (2X-1) + C (س ^ 2) #

سمح # س = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

سمح # س = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

معاملات # س ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4/2 = -2 #

وبالتالي،

# 1 / (س ^ 2 (2X-1)) = - 1 / س ^ 2-2 / س + 4 / (2X-1) #

وبالتالي،

#int (1DX) / (س ^ 2 (2X-1)) = - الباحث (1DX) / س ^ 2-كثافة العمليات (2DX) / س + الباحث (4DX) / (2X-1) #

# = 1 / س 2LN (| س |) + 2LN (| 2X-1 |) + C #