إجابة:
يتلاقى ل # 1 + أنا # (على حاسبة الرسوم البيانية Ti-83 الخاصة بي)
تفسير:
سمح # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
أولا ، على افتراض أن هذه السلسلة اللانهائية تتلاقى (أي بافتراض وجود S وتأخذ قيمة الرقم المركب) ،
# S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
وإذا كنت تحل ل S:
# S ^ 2 + 2 = 2S ، S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
وتطبيق الصيغة التربيعية التي تحصل عليها:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 مساء
عادة ما تأخذ الدالة الجذر التربيعي القيمة الإيجابية هكذا # S = 1 + i #
وبالتالي ، إذا كان التقارب ثم يجب أن تتلاقى ل # 1 + أنا #
الآن كل ما عليك فعله هو إثبات أنه يتقارب أو إذا كنت كسول ا مثلي ، فيمكنك التوصيل # sqrt {-2} # في آلة حاسبة يمكنها التعامل مع الأرقام المتخيلة واستخدام علاقة التكرار:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
كررت ذلك عدة مرات على Ti - 83 ووجدت أنه يقترب على سبيل المثال بعد أن كررته في مكان ما مثل 20 مرة تقريب ا
# 1.000694478 + 1.001394137i #
تقريب جيد جدا
