هل هناك أي نقطة (x ، y) على المنحنى y = x ^ (x (1 + 1 / y)) ، x> 0 ، حيث يكون الظل موازيا للمحور x؟

إجابة:

لا يوجد مثل هذه النقطة ، بقدر ما يذهب الرياضيات بلدي.

تفسير:

أولا ، دعونا ننظر في ظروف الظل إذا كان موازيا لل # # س-محور. منذ # # س- المحور أفقي ، وأي خط مواز له يجب أن يكون أيض ا أفقي ا ؛ لذلك يتبع أن الخط المماس أفقي. وبالطبع ، تحدث الظلال الأفقية عندما تساوي المشتقة #0#.

لذلك ، يجب أن نبدأ أولا بإيجاد مشتق هذه المعادلة الوحشية ، والتي يمكن تحقيقها من خلال التمايز الضمني:

# ص = س ^ (س + س / ص) #

# -> LNY = (س + س / ص) lnx #

باستخدام قاعدة المجموع وقاعدة السلسلة وقاعدة المنتج وقاعدة حاصل الجمع والجبر ، لدينا:

# د / DX (LNY) = د / DX ((س + س / ص) lnx) #

# -> دى / DX * 1 / ص = (س + س / ص) "(lnx) + (س + س / ص) (lnx) '#

# -> دى / DX * 1 / ص = (س + س / ص) "(lnx) + (س + س / ص) (lnx) '#

# -> دى / DX * 1 / ص = (1+ (x'y-xdy / DX) / ص ^ 2) (lnx) + (س + س / ص) (1 / س) #

# -> دى / DX * 1 / ص = lnx + lnx ((ص xdy / DX) / ص ^ 2) + 1 + 1 / ص #

# -> دى / DX * 1 / ص = lnx + lnx (1 / Y- (xdy / DX) / ص ^ 2) + 1 + 1 / ص #

# -> دى / DX * 1 / ص = lnx + (lnx) / Y- (xlnxdy / DX) / ص ^ 2 + 1 + 1 / ص #

# -> دى / DX * 1 / ص + (xlnxdy / DX) / ص ^ 2 = lnx + (lnx) / ص + 1 + 1 / ص #

# -> دى / DX (1 / ص + (xlnx) / ص ^ 2) = lnx + (lnx) / ص + 1 + 1 / ص #

# -> دى / DX ((ذ + xlnx) / ص ^ 2) = lnx + (lnx) / ص + 1 + 1 / ص #

# -> دى / DX ((ذ + xlnx) / ص ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + ص) / ص #

# -> دى / DX = ((ylnx + lnx + 1 + ص) / ص) / ((ذ + xlnx) / ص ^ 2) #

# -> دى / DX = (ذ (ylnx + lnx + 1 + ذ)) / (ص + xlnx) #

واو … كان ذلك مكثفا. الآن وضعنا المشتق يساوي #0# وانظر ماذا يحدث.

# 0 = (ذ (ylnx + lnx + 1 + ذ)) / (ص + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + ص #

# -ylnx-ص = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#Y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#Y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# ص = -1 #

مثير للإعجاب. الآن دعونا سد العجز في # ص = -1 # وانظر ماذا نحصل عليه # # س:

# ص = س ^ (س (1 + 1 / ص)) #

# -1 = س ^ (س (1 + 1 / -1)) #

# -1 = س ^ (س (1-1)) #

# -1 = س ^ 0 #

#-1=1#

نظر ا لأن هذا تناقض ، فإننا نستنتج أنه لا توجد نقاط تفي بهذا الشرط.

إجابة:

لا يوجد مثل هذا الظل.

تفسير:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. الدعوة الآن #f (x، y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # نحن لدينا

#df = f_x dx + f_y dy = (جزئي u) / (جزئي x) dx + (جزئي v) / (جزئي y) dy = 0 # ثم

# dy / dx = - ((جزئي u) / (جزئي x)) / ((جزئي v) / (جزئي y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (ذ)) #

نحن نرى ذلك # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1 ، x_0 = e ^ {- 1}} # ولكن يجب أن تتحقق هذه القيم:

#f (x، y_0) = 0 # و

#f (x_0 ، ص) = 0 #

في الحالة الأولى، # y_0 = 1 # نحن لدينا

# x ^ x = -1 # وهو أمر لا يمكن تحقيقه في المجال الحقيقي.

في الحالة الثانية ، # x_0 = e ^ {- 1} # نحن لدينا

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # أو

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

لكن

# y / (y + 1) log_e y> -1 # لذلك لا يوجد حل حقيقي أيضا.

ختاما ، ليس هناك مثل هذا الظل.

إجابة:

الإجابة من الدكتور ، كاوا ك ، س = 1 / ه ، دقيقة.

تفسير:

لقد اقترحت هذا السؤال للحصول على هذه القيمة بدقة. شكرا ل

الدكتور ، Cawas للحصول على إجابة حاسمة التي توافق على الوحي الذي

تبقى الدقة المزدوجة y '0 حول هذا الفاصل الزمني. ذ هو

مستمر وقابل للتمييز عند x = 1 / e. لأن كل من ضعف 17-sd

الدقة y و y '0 ، في هذا الفاصل الزمني حول x = 1 / e ، كان a

تخمين أن محور س يمس الرسم البياني بينهما. والآن هو كذلك

اثبت. أعتقد أن اللمس متعالي..