إجابة:
خط الظل موازي ل # # س محور عند المنحدر (وبالتالي # دى / DX #) هو صفر وهو موازي لل # ذ # المحور عند المنحدر (مرة أخرى ، # دى / DX #) يذهب إلى # س س # أو # # -oo
تفسير:
سنبدأ بالبحث # دى / DX #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
الآن، # dy / dx = 0 # عندما يكون nuimerator #0#، شريطة أن لا يجعل هذا أيض ا المقام #0#.
# 2X + ص = 0 # متى #y = -2x #
لدينا الآن ، معادلتين:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
حل (عن طريق الاستبدال)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
عن طريق #y = -2x #، نحن نحصل
الظل إلى المنحنى أفقي عند النقطتين:
# (sqrt21 / 3 ، - (2sqrt21) / 3) # و # (- sqrt21 / 3، (2sqrt21) / 3) #
(لاحظ أن هذين الزوجين لا يصنعان قاسم # دى / DX # يساوي #0#)
لإيجاد النقاط التي يكون الظل فيها عمودي ا ، قم بإعداد المقام # دى / DX # tpo على قدم المساواة #0# (دون أيضا جعل البسط #0#).
يمكننا أن نذهب إلى الحل ، ولكن التماثل للمعادلة التي سنحصل عليها:
# س = -2y #، وبالتالي
#y = + - sqrt21 / 3 #
والنقاط على المنحنى الذي يكون فيه الظل عمودي ا هي:
# (- (2sqrt21) / 3 ، sqrt21 / 3) # و # ((2sqrt21) / 3 ، -sqrt21 / 3) #
على فكرة. لأن لدينا التكنولوجيا ، وهنا هو الرسم البياني لهذا القطع الناقص استدارة: (لاحظ ذلك # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # والتي يمكنك أن ترى على الرسم البياني.)
رسم بياني {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3، 11.2، -5.665، 5.585}
إجابة:
باستخدام رياضيات المدارس المتوسطة فقط أحصل عليها
الظلال الموازية للمحور x في:
# (- sqrt {7/3} و 2 sqrt {7/3}) و (sqrt {7/3} و -2 sqrt {7/3}) #
الظلال الموازية للمحور y في:
# (- 2sqrt {7/3} و sqrt {7/3}) و (2sqrt {7/3} و -sqrt {7/3}) #
تفسير:
لقد ألقيت نظرة على إجابة Jim ، والتي تبدو وكأنها علاج لطيف ومتفرق للحساب. لكنني لم أستطع إلا أن أشعر بالحزن لجميع طلاب المدارس المتوسطة الموجودين في أرض سقراط والذين يرغبون في العثور على ظلال من المنحنيات الجبرية ولكنهم ما زالوا بعيدين عن حساب التفاضل والتكامل.
لحسن الحظ يمكنهم القيام بهذه المشاكل باستخدام الجبر الأول فقط
# س ^ 2 + س ص + ص ^ 2 = 7 #
قد يكون هذا الأمر معقد ا بعض الشيء في المثال الأول ، ولكن دعنا نذهب معه. نكتب منحنى لدينا كما # F (س، ص) = 0 # أين
#f (x، y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
لنأخذ # (ص، ق) # كنقطة على #F#. نريد التحقيق #F# قريب # (ص، ق) # لذلك نحن نكتب
#f (x، y) = f (r + (x-r)، s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
نحن نتوسع ، لكننا لا نوسع شروط الاختلاف # س-ص # و # ص ق #. نريد الحفاظ على تلك الأشياء سليمة حتى نتمكن من تجربة التخلص منها في وقت لاحق.
#f (x، y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s نعم) + (نعم) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (يس) #
# = f (r، s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
نحن قلنا # (ص، ق) # على #F# وبالتالي # F (ص، ق) = 0 #.
#f (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
قمنا بفرز الشروط حسب الدرجة ، ويمكننا تجربة التقريب إلى #F# قريب # (ص، ق) # عن طريق إسقاط الدرجات العليا. الفكرة هي متى # (س، ص) # بقرب # (ص، ق) # ثم # س-ص # و # ص ق # صغيرة ، وساحاتها والمنتج أصغر.
دعونا فقط توليد بعض التقريبية ل #F#. منذ # (ص، ق) # هو على المنحنى ، التقريب المستمر ، وإسقاط جميع شروط الفرق ، هو
# f_0 (x، y) = 0 #
هذا ليس مثيرا بشكل خاص ، لكنه يخبرنا بشكل صحيح النقاط القريبة # (ص، ق) # سيعطي قيمة بالقرب من الصفر ل #F#.
دعونا الحصول على أكثر إثارة للاهتمام والحفاظ على الشروط الخطية.
# f_1 (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
عندما نضبط هذا على الصفر ، نحصل على أفضل تقريب خطي ل #F# قريب # (ص، ق)، # وهو خط الظل إلى #F# في # (ص، ق). # الآن نحن نصل إلى مكان ما.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
يمكننا النظر في التقريبات الأخرى أيض ا:
# f_2 (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
هذه هي المراتب العليا ، تلك التي يصعب على طلاب الرياضيات بالجامعة الوصول إليها. لقد ذهبنا بالفعل وراء حساب التفاضل والتكامل في الكلية.
هناك المزيد من التقديرات ، لكني حذر من أن هذا يطول. الآن بعد أن تعلمنا كيفية حساب التفاضل والتكامل باستخدام Algebra I فقط ، دعنا نفعل المشكلة.
نريد أن نجد النقاط التي يكون فيها خط الظل موازيا لل # # س محور و # ذ # محور.
وجدنا لدينا خط الظل في # (ص، ق) # هو
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
بالتوازي مع # # س محور يعني معادلة #y = النص {ثابت} #. وبالتالي فإن معامل جرا # # س يجب أن تكون صفرا:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (ص، ق) # هو على المنحنى ذلك # F (ص، ق) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
منذ # ق = -2r # النقاط هي
# (- sqrt {7/3} و 2 sqrt {7/3}) و (sqrt {7/3} و -2 sqrt {7/3}) #
وبالمثل بالتوازي مع محور y يعني # 2S + ص = 0 # التي يجب أن تبادل فقط x و y بسبب تماثل المشكلة. لذلك النقاط الأخرى هي
# (- 2sqrt {7/3} و sqrt {7/3}) و (2sqrt {7/3} و -sqrt {7/3}) #
التحقق من.
كيف تفحص؟ دعونا نفعل مؤامرة ألفا.
قطعة الأرض x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 ، x = -sqrt {7/3} ، y = 2 sqrt {7/3} ، x = 2sqrt {7/3} ، y = -sqrt {7/3 }
تبدو جيدا. حساب التفاضل والتكامل على المنحنيات الجبرية. جيد جدا للمدرسة المتوسطة.
