ماذا -3sin (أركوس (2)) - كوس (قوس كوس (3)) يساوي؟

إجابة:

مشكلة لا تطاق

تفسير:

لا توجد أقواس أن جيبها يساوي 2 و 3.

من وجهة نظر تحليلية ، و # قوس جيب تمام الزاوية # يتم تعريف وظيفة فقط على #-1,1# وبالتالي #arccos (2) # & #arccos (3) # لا يوجد

إجابة:

بصدق # # كوس و # # الخطيئة هذا لا يوجد لديه حلول ، ولكن كوظائف لأرقام معقدة نجد:

# -3 الخطيئة (الأقواس (2)) - كوس (الأقواس (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

تفسير:

كما القيم الحقيقية لقيمة القيم الحقيقية لل # # س، وظائف #cos (خ) # و #sin (خ) # تأخذ فقط القيم في النطاق #-1, 1#، وبالتالي #arccos (2) # و #arccos (3) # غير معروف.

ومع ذلك ، من الممكن توسيع تعريف هذه الدالات إلى وظائف معقدة #cos (ض) # و #sin (ض) # على النحو التالي:

بدءا من:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

يمكننا استنتاج:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

وبالتالي يمكننا تحديد:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

لأي رقم مركب # ض #.

من الممكن إيجاد قيم متعددة لـ # ض # أن ترضي #cos (z) = 2 # أو #cos (z) = 3 #، لذلك قد يكون هناك بعض الخيارات التي يتعين اتخاذها لتحديد القيمة الرئيسية #arccos (2) # أو #arccos (3) #.

للعثور على المرشحين المناسبين ، حل # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #الخ

ومع ذلك ، لاحظ أن الهوية # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # يحمل لأي رقم مركب # ض #، حتى نتمكن من استنتاج:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

آمل أن يكون من الممكن تحديد القيمة الرئيسية في مثل هذه الطريقة #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # عوضا عن # - الصربية (3).

في أي حال، #cos (أركوس (3)) = 3 # حسب التعريف.

إذا وضعنا هذا مع ا ، نجد:

# -3 الخطيئة (الأقواس (2)) - كوس (الأقواس (3)) = -3sqrt (3) i-3 #